부천 고2수학과외: 분수형 수열에서 항번호와 적용 범위 읽기
송내역이나 송내주공1단지 주변에서 방과 후 이동한 뒤 자습 시간이 짧을수록, 수열 문제의 첫 줄을 어떻게 기록하는지가 중요해진다. 부천북고등학교, 부천고등학교 등 학교별 프린트에서 자주 보이는 분수형 수열은 계산보다 항번호와 항값의 관계를 먼저 확인해야 한다.
1/2, 2/3, 3/4를 값으로만 읽은 풀이
문제에서 수열의 앞 세 항이
1/2, 2/3, 3/4, …
로 주어지고 일반항을 구한다고 하자. 풀이 첫 줄에 항번호를 적지 않으면 학생은 분자와 분모의 규칙을 놓친 채 분수 계산부터 시작하기 쉽다. 이때 여백에 다음처럼 대응표를 먼저 만든다.
| 항번호 | 1 | 2 | 3 | n |
|---|---|---|---|---|
| 항값 | 1/2 | 2/3 | 3/4 | an |
분자는 항번호와 같고 분모는 항번호보다 1 크므로
an = n/(n+1), n은 자연수
이다. 따라서 a5 = 5/6이고, n이 자연수이므로 n+1은 항상 0이 아니다. 이 식을 모든 실수 n에 대한 함수식처럼 다루는 것이 아니라, 수열의 항번호 범위인 n=1, 2, 3, … 안에서 사용해야 한다.
항번호를 생략하면 일반항의 근거가 사라진다
학생의 답안에는 “분자와 분모가 각각 1씩 증가하므로 an = n/(n+1)”이라는 결론만 남아 있었다. 답 자체는 맞지만 1/2가 a1인지, 2/3가 a2인지 표시하지 않아 다른 배열에도 같은 규칙을 무심코 적용할 가능성이 있었다.
예를 들어 앞의 세 항이
-1/2, 2/3, -3/4, …
라면 부호까지 포함해야 하므로 단순히 n/(n+1)이라고 쓸 수 없다. 항번호와 부호를 함께 적으면
a1=-1/2, a2=2/3, a3=-3/4
이고, 부호는 홀수 번째 항에서 음수, 짝수 번째 항에서 양수이다. 따라서
an = (-1)n n/(n+1)
으로 나타낼 수 있다. 실제로 n=1이면 -1/2, n=2이면 2/3, n=3이면 -3/4가 되어 주어진 항과 일치한다.
오류 항목 하나만 지정해 다시 확인하기
모든 부분을 한꺼번에 고치려 하지 않고 이번 풀이에서는 오류 유형을 부호로 정한다. 답안 옆에 “부호 확인”이라고 적은 뒤, 새 일반항에 n=1, 2, 3을 차례로 대입한다.
(-1)1·1/2=-1/2
(-1)2·2/3=2/3
(-1)3·3/4=-3/4
이렇게 항번호와 항값을 나란히 남기면 분자·분모의 규칙뿐 아니라 부호 규칙도 식에 반영되었는지 확인할 수 있다. 특히 n=0을 임의로 포함하지 않고, 문제에서 정한 수열의 시작 항이 n=1임을 유지해야 한다.
부호가 반대로 바뀐 배열에서 다시 판별하기
마지막으로 다음 수열을 별도로 제시한다.
1/2, -2/3, 3/4, -4/5, …
이번에는 앞의 표를 새로 만들고
a1=1/2, a2=-2/3, a3=3/4, a4=-4/5
를 확인한다. 부호는 홀수 항에서 양수, 짝수 항에서 음수이므로
an = (-1)n+1 n/(n+1), n≥1
이다. n=4를 대입하면 (-1)5·4/5=-4/5가 되어 네 번째 항과 맞는다. 부호가 바뀐 조건에서도 항번호를 먼저 표시하고, 그 항번호가 분자·분모·부호에 어떻게 연결되는지 확인했다면 이전 식을 그대로 복사하지 않게 된다.