합정동중2수학과외, x와 y 대응을 읽고 닮음비를 바로 세우는 연습
도형의 닮음 문제에서 답이 자주 틀리는 학생은 비례식을 전혀 모르는 경우보다, 두 도형의 어느 점과 어느 점이 서로 대응하는지 정하지 않은 채 숫자부터 옮기는 경우가 많다. 특히 문제에 x와 y가 함께 표시되어 있으면 x가 놓인 변과 y가 놓인 변을 눈에 보이는 순서대로 연결하면서 닮음비를 반대로 세우기도 한다.
합정동에서 중2 수학을 공부할 때에도 학교 수업, 학원 일정, 수행평가 준비 시간은 학생마다 다르다. 성산중학교가 합정동 지역 소재 학교로 확인되며, 경성중학교·광성중학교·동도중학교·상암중학교는 같은 마포구의 통학권 참고 학교로 볼 수 있다. 학교별 내신 운영을 하나의 경향으로 단정하기보다, 학생이 실제로 풀어 본 학교 프린트와 서술형 답안을 기준으로 대응 관계를 점검하는 편이 정확하다.
숫자보다 먼저 읽어야 하는 것
예를 들어 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 닮음이고, 문제에서 A와 D, B와 E, C와 F가 대응한다고 제시되었다고 하자. AB=6, DE=9, AC=x, DF=12라면 대응변을 같은 순서로 놓아야 한다.
AB와 DE가 대응하므로 닮음비는 작은 삼각형에서 큰 삼각형으로 6:9, 즉 2:3이다. 따라서 AC:DF도 2:3이므로 x:12=2:3이고 x=8이다. 반대로 6:9를 3:2처럼 뒤집어 12에 곱하면 잘못된 답을 얻게 된다.
여기서 중요한 것은 x라는 문자의 위치가 아니라 A와 D, B와 E, C와 F라는 대응 관계다. 점의 이름이 시계 방향으로 적혀 있지 않거나 도형이 회전·뒤집혀 있으면 눈으로 보이는 위치만으로 대응변을 정할 수 없다.
실제 풀이에서 나타나는 막힘
학생은 문제를 보자마자 AB=6, DE=9를 확인하고 6/9를 적는다. 그런데 x가 표시된 AC와 12가 표시된 DF를 찾을 때는 AC를 DE와 연결하거나, 큰 도형의 수를 먼저 놓으면서 9/6=x/12와 같은 식을 만든다. 계산 자체는 능숙하지만 어떤 두 변이 대응하는지 말해 보라고 하면 “그냥 옆에 있어서요”라고 답한다.
또 다른 장면에서는 ∠A=∠D라는 표시를 확인하고도 변의 대응을 정하지 않는다. △ABC∼△DEF라는 문장에서 순서가 대응을 알려 준다는 사실을 놓치고, 그림의 크기가 비슷해 보이는 변을 임의로 짝짓는다. 이때 오답은 계산 실수가 아니라 대응 오류와 조건 확인 누락에 해당한다.
“AB와 DE가 대응한다는 근거는 무엇인가요?”라는 질문에 “둘 다 6과 9가 적혀 있어서요”라고 답한다면, 숫자보다 대응 조건을 읽는 훈련이 먼저 필요하다.
풀이 줄을 바꾸는 대응표
문제를 풀 때 바로 비례식을 쓰지 않고 작은 대응표를 만든다.
- A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F처럼 점의 대응을 한 줄에 쓴다.
- AB ↔ DE, BC ↔ EF, CA ↔ FD처럼 변의 대응을 다시 적는다.
- 각도 표시나 닮음 기호의 순서가 대응표와 맞는지 확인한다.
- 작은 도형에서 큰 도형으로 갈지, 큰 도형에서 작은 도형으로 갈지 먼저 정한다.
- 비례식의 양쪽에 같은 방향의 대응변을 배치한다.
학생이 x와 y를 혼동한다면 문자만 따로 보지 않고, x가 들어 있는 변의 양 끝점을 읽게 한다. 예를 들어 AC=x라면 A와 C가 어느 도형의 D·F와 대응하는지 확인한 뒤 DF와 짝지어야 한다. x의 위치가 바뀌어도 대응점이 같으면 짝은 바뀌지 않는다.
닮음비가 2:3이면 모든 대응하는 길이의 비가 2:3이어야 한다. 넓이를 묻는 경우에는 길이의 비를 그대로 쓰지 않고 넓이비가 2²:3², 즉 4:9가 된다는 점도 구분한다. 다만 먼저 길이 대응을 정확히 정하지 않으면 넓이비도 반대로 세우게 된다.
서술형에서는 식 앞에 근거를 남긴다
답만 x=8이라고 쓰지 않고, “△ABC∼△DEF이고 AB와 DE가 대응하므로 AB:DE=AC:DF이다”라고 시작하게 한다. 그다음 6:9=x:12를 쓰고 x=8을 구한다. 이 순서를 지키면 숫자를 옮긴 이유가 드러나며, 선생님이 요구하는 서술형 근거도 남는다.
학생의 풀이를 확인할 때는 정답 여부만 보지 않는다. 대응점 표시가 있는지, 비례식의 방향이 처음 정한 기준과 같은지, 계산 후 다른 대응변에도 같은 비가 성립하는지 확인한다. 예를 들어 x=8을 구했다면 AC:DF=8:12=2:3으로 줄어들고 AB:DE=6:9=2:3인지 다시 비교한다.
다음 날에는 모양과 조건을 바꿔 확인한다
같은 문제를 다시 맞히는 것은 독립적인 검증이 아니다. 다음 날에는 도형의 위치를 뒤집고, 점의 이름을 바꾸며, 작은 도형과 큰 도형의 순서를 바꾼 문제를 제시한다. 예를 들어 △PQR∼△XYZ에서 PQ=10, XY=15, PR=y, XZ=21이라면 P↔X, Q↔Y, R↔Z를 먼저 확인해야 한다. 10:15=y:21이므로 y=14이다.
이번에는 길이 대신 넓이를 묻는다. 닮음비가 2:3인 두 삼각형의 넓이 차가 45라면 넓이비는 4:9이다. 작은 넓이를 4k, 큰 넓이를 9k로 두어 9k-4k=45, 5k=45, k=9로 계산하고 넓이는 36과 81이 된다. 길이비와 넓이비를 구분하는지 함께 확인할 수 있다.
마지막으로 4분 제한을 둔 서술형 문제에서 대응표 작성, 비례식, 근거 문장을 모두 남기는지 본다. 시간이 부족해도 그림에 보이는 위치만 보고 식을 세우지 않고, 대응점을 먼저 적는다면 풀이의 안정성이 높아진다.
합정동 중2수학과외에서 확인하는 학습 기록
수업에서는 틀린 문제의 답만 모으지 않고 대응 오류, 조건 누락, 비례식 방향 오류, 계산 오류를 나누어 기록한다. 맞힌 문제라도 풀이 이유를 말하지 못했거나 대응표 없이 감으로 풀었다면 재확인 대상으로 남긴다. 학생이 주간 일정 때문에 긴 문제 풀이 시간을 확보하기 어려운 경우에는 한 문제를 짧게 풀더라도 대응점 표시와 근거 문장을 빠뜨리지 않는 방식으로 관리한다.
합정한강아파트 등 생활권에서 통학하는 학생이라도 학교와 학년별 프린트, 시험 범위, 서술형 요구는 다를 수 있다. 따라서 특정 학교의 출제 경향을 추측하기보다 학생이 받은 자료에서 닮음 문제의 대응 조건과 서술형 채점 요소를 직접 확인한다.
자주 묻는 질문
닮음 기호의 순서를 꼭 외워야 하나요?
외우는 것보다 △ABC∼△DEF라면 A↔D, B↔E, C↔F처럼 순서대로 대응표를 만드는 습관이 중요하다.
그림에서 서로 비슷해 보이는 변을 연결하면 안 되나요?
도형이 회전하거나 뒤집혀 있을 수 있으므로 각도 표시, 평행 관계, 닮음 기호의 순서를 먼저 확인해야 한다.
정답을 맞혔는데도 다시 풀어야 하나요?
숫자와 도형 위치를 바꾼 새 문제에서 대응표와 근거를 독립적으로 작성하지 못하면 우연히 맞힌 것일 수 있다.