합정동중1수학과외, 사분면의 도형 이름을 좌표 관계로 설명하는 연습
“점 A는 제2사분면에 있고 점 B는 제4사분면에 있으므로 두 점의 x좌표와 y좌표는 서로 반대이다.” 이 문장은 얼핏 맞아 보이지만, 사분면의 위치만으로 두 좌표의 크기나 정확한 관계까지 정할 수는 없다. 제2사분면의 점은 x좌표가 음수이고 y좌표가 양수이며, 제4사분면의 점은 x좌표가 양수이고 y좌표가 음수라는 부호 관계만 말할 수 있다. 중1 학생이 도형 이름은 기억하면서도 이런 관계를 설명하지 못한다면 좌표를 외우는 문제가 아니라 좌표와 문자식·그래프를 연결하는 과정이 아직 끝나지 않은 경우가 많다.
합정동에서 성산중학교를 다니거나 마포구 안의 경성중학교, 광성중학교, 동도중학교, 상암중학교를 참고해 학습 일정을 조정할 때도 학교를 하나의 성향으로 묶기보다 학생의 주간 프린트, 시험 범위, 풀이 시간에 맞춰 확인하는 편이 안전하다. 합정한강아파트 등 생활권에서 이동하는 시간과 학교별 일정이 다를 수 있으므로, 좌표 단원을 공부할 때도 새 문제집을 계속 추가하기보다 현재 틀리는 장면을 기록하는 것이 우선이다.
좌표를 아는 것과 관계를 말하는 것은 다르다
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 문제에 “점 P(-3, 2)를 좌표평면에 나타내고 어느 사분면에 있는지 쓰시오”라고 나왔을 때 먼저 세로축에서 -3을 찾고 가로축에서 2를 찾으려 한다. 또는 P(2, -3)을 보고 “2가 y좌표, -3이 x좌표”라고 말한 뒤 제3사분면에 점을 찍는다. 서술형 첫 줄에 좌표를 그대로 옮겨 적지 않고 머릿속으로만 처리하기 때문에, 점을 잘못 찍은 뒤에도 실제 위치와 식을 다시 비교하지 않는다.
이때 “사분면을 다시 외우자”라고만 하면 변형문제에서 같은 오류가 반복된다. 좌표는 항상 (x, y) 순서로 읽고, x는 좌우 방향, y는 상하 방향을 결정한다. P(-3, 2)는 원점에서 왼쪽으로 3, 위로 2 이동한 점이므로 제2사분면이다. Q(2, -3)는 오른쪽으로 2, 아래로 3 이동하므로 제4사분면이다. 두 점의 관계를 설명할 때는 “x좌표의 부호가 서로 반대이고 y좌표의 부호도 서로 반대이다”처럼 확인 가능한 문장으로 써야 한다. 단, 절댓값까지 같다고 주어지지 않았다면 좌표의 크기가 같다고 덧붙여서는 안 된다.
풀이를 좌표표로 바꾸는 짧은 훈련
학생이 부호와 절댓값을 한 번에 처리하려 한다면 다음 네 칸을 먼저 만든다.
- 점의 이름
- x좌표의 값과 부호
- y좌표의 값과 부호
- 점이 놓인 사분면
예를 들어 A(-4, 1), B(3, -2)를 읽을 때 A의 x는 음수, y는 양수이므로 제2사분면이라고 적는다. B는 x가 양수, y가 음수이므로 제4사분면이다. 그 다음 좌표평면에 눈금을 표시하고 점을 찍는다. 마지막에는 표의 부호와 실제 점의 위치가 일치하는지 확인한다. 이 순서를 지키면 x와 y를 바꾸어 읽는 행동과, 부호를 보지 않고 절댓값만 비교하는 행동을 분리해서 고칠 수 있다.
문자식이나 방정식이 좌표와 연결된 문제에서는 식을 바로 계산하지 않는다. “x가 음수인 점”, “y가 0보다 큰 점”, “두 좌표의 절댓값이 같다”처럼 조건에 밑줄을 긋고, 각 조건을 표의 어느 칸에 넣을지 정한다. 예를 들어 x=-a, y=2에서 a가 양수라는 조건이 있다면 x는 음수, y는 양수라는 관계를 먼저 확인한다. a의 값이 정해지지 않았다면 점의 정확한 위치를 임의로 찍지 않고 제2사분면에 있다는 범위만 말해야 한다.
수업 표현과 문제집 표현을 연결하는 방법
수업에서 “가로축과 세로축”이라고 배웠는데 문제집에 “x축과 y축”이 나오면 각각을 같은 표에 연결해 적는다. x축은 y좌표가 0인 점들의 모임이고, y축은 x좌표가 0인 점들의 모임이다. 따라서 (4, 0)은 x축 위에 있고 (0, -2)는 y축 위에 있으며 어느 사분면에도 속하지 않는다. “축 위의 점은 사분면에 포함되지 않는다”는 문장까지 조건표에 넣어야, 사분면만 묻는 문제와 축 위의 점을 묻는 문제를 구별할 수 있다.
문자식의 계산이 가능해도 좌표 관계를 설명하지 못한다면 중2 선행을 늘리기 전에 현재 중1의 미완료를 확인한다. 예를 들어 x값과 y값을 표에 옮기는 단계, 음수의 위치를 수직선에서 확인하는 단계, 식에 나타난 문자가 어떤 수량을 뜻하는지 말하는 단계 중 어디에서 멈추는지 구분한다. 필요한 선수 내용만 짧게 복구한 뒤 곧바로 좌표 문제에 다시 적용한다. 좌표를 도움 없이 읽고 새로운 문자 조건에도 사분면을 판단할 수 있으면 해당 복습은 종료할 수 있다.
맞힌 답도 풀이 시간과 함께 검증하기
정답을 맞혔다고 바로 다음 문제로 넘어가지 않는다. 문제 번호, 풀이 시간, 좌표를 읽은 순서, 검산 여부를 기록한다. 풀이 시간이 지나치게 길었거나 점을 찍지 않고 감으로 답했다면 재확인 대상으로 남긴다. 다음 날에는 같은 문제를 그대로 복사하지 않고 A(-4, 1)을 A(4, -1)로 바꾸어 사분면이 어떻게 달라지는지 말하게 한다. 그 뒤 x좌표와 y좌표를 바꾼 A(-1, 4)를 제시해 위치를 비교하면, 학생이 숫자를 외운 것이 아니라 순서를 적용하는지 확인할 수 있다.
이후에는 “점 P는 제2사분면에 있고 x좌표의 절댓값은 3, y좌표는 2이다”처럼 조건을 추가한다. 학생은 가능한 좌표를 P(-3, 2)로 정하고, 표를 만든 뒤 좌표평면에 점을 찍는다. 마지막으로 “P의 x좌표와 y좌표를 바꾸면 어느 사분면인가?”를 묻는다. (-3, 2)를 (2, -3)으로 바꾸었으므로 제4사분면이라는 답과 함께, 부호와 순서가 어떻게 바뀌었는지 설명해야 한다.
피곤한 날에는 새 유형을 늘리기보다 이전에 사용한 조건표와 좌표 검산을 유지한다. 일주일 뒤에는 표 대신 짧은 문장으로 조건을 제시하고, 불필요한 숫자를 하나 넣어도 필요한 정보만 골라내는지 본다. 최종적으로는 “x좌표는 음수이고 y좌표는 양수이므로 제2사분면이며, 좌표를 (x, y) 순서로 읽어 왼쪽 위에 표시했다”처럼 위치와 근거를 함께 쓰는지를 확인한다. 이것이 사분면 이름을 기억하는 수준에서 좌표·문자식·그래프의 관계를 스스로 검증하는 단계로 넘어가는 기준이다.