합정동고3수학과외

합정동 고3수학과외: 법선의 기울기를 결정하는 순서

합정동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으며, 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교 등 마포구 내 학교를 통학권 참고 대상으로 볼 수 있다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정은 다를 수 있어, 수업에서는 먼저 답안의 수학적 판단을 점검했다.

접선 기울기와 법선 기울기를 혼동한 풀이

학생은 법선의 기울기를 접선 기울기와 같은 값으로 두는 오류를 반복했다. 예를 들어 함수

f(x)=x²-4x+1

의 그래프 위 점 (3, f(3))에서 법선의 방정식을 구하면 다음과 같다.

f'(x)=2x-4이므로

f'(3)=2, f(3)=-2이다.

학생의 오답은 다음과 같다.

법선의 기울기 = f'(3)=2
y+2=2(x-3)

이 식은 법선의 방정식이 아니라 접선의 방정식이므로 틀렸다. 접선과 법선은 서로 수직이므로 두 직선의 기울기 곱은 -1이어야 한다. 따라서 접선의 기울기가 2일 때 법선의 기울기는

m_n=-1/f'(3)=-1/2

이다. 올바른 법선은

y+2=-1/2(x-3)

이며, 전개하면 x+2y+1=0이다.

부호와 임계점을 함께 확인한 수정 과정

• 틀린 줄 표시: ‘법선의 기울기 = f'(3)’에 밑줄을 긋는다.
• 변수 관계 확인: f'(a)는 접선의 기울기이고, 법선은 접선에 수직이므로 기울기 곱이 -1임을 적는다.
• 식 수정: m_n=-1/f'(a)를 적용해 -1/2를 얻는다.
• 원식 대조: 점 (3,-2)를 대입하면 -2+2=-1/2(3-3)=0으로 성립한다.
• 기울기 검산: 법선의 식 y=-1/2x-1/2의 기울기는 -1/2이고, 접선 기울기 2와의 곱은 -1이다.

함수와 접점을 바꾼 독립 검증

이 기준이 재현되는지 확인하기 위해

g(x)=x³-3x+2

의 x=1에서 법선을 구했다. 도함수는

g'(x)=3x²-3

이므로 g'(1)=0, g(1)=0이다. 이때 접선은 수평선이므로 법선은 수직선이다. 따라서 m=-1/0으로 계산하지 않고, 법선을

x=1

로 써야 한다. 접선 기울기가 0인 경우까지 확인하면서, 법선 기울기를 무조건 f'(a)로 쓰는 습관을 바로잡았다.