합정동고2수학과외: 지수부등식에서 밑을 통일하기 전 확인할 조건
합정동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 실제 학습 일정은 마포구 내 통학권과 학교별 프린트·지필평가 일정에 따라 달라질 수 있다. 상암고등학교, 서울여자고등학교, 광성고등학교 등은 합정동 소재 학교가 아닌 같은 마포구의 참고 학교다. 이런 환경에서는 문제를 많이 푸는 것보다 풀이 중 밑의 관계를 정확히 판별하는 과정이 중요하다.
8x와 26에서 8과 2만 비교한 이유
오답표에는 다음과 같은 풀이가 남아 있었다.
8x < 26에서 8 > 2이므로 지수의 부등호를 바꾼다.
이 판단은 밑의 크기만 비교한 오류다. 지수부등식에서는 두 밑을 공통 밑의 거듭제곱으로 나타낼 수 있는지 먼저 확인해야 한다. 이 식은
8x = (23)x = 23x
이므로
23x < 26
으로 바꾼다. 공통 밑 2는 2>0, 2≠1이고 1보다 크므로 지수의 대소관계가 그대로 유지된다.
3x < 6, 따라서 x<2이다.
공통 밑을 정한 뒤 부등호 방향을 결정하기
같은 밑 통일은 아무 밑이나 골라 숫자를 바꾸는 절차가 아니다. 공통 밑을 a라고 할 때 실수 지수 범위에서 a>0, a≠1이어야 하며,
a>1이면au<av에서u<v0<a<1이면au<av에서u>v
처럼 밑의 범위에 따라 방향이 달라진다. 따라서 답안에는 밑을 통일한 식뿐 아니라 공통 밑이 증가함수인지 감소함수인지도 남겨야 한다.
오답표를 지울 때 남겨야 할 한 문장
기존 풀이를 전부 지우기보다 오류가 생긴 줄 옆에 다음처럼 적는다.
“밑의 크기만 비교했고, 8=23으로 통일한 뒤 공통 밑 2의 증가 여부를 확인하지 않았다.”
그 다음 식을 다시 쓴다.
8x<26 → 23x<26 → 3x<6 → x<2
이처럼 오류 원인과 수정된 한 단계를 함께 기록하면 정답만 베끼는 대신, 밑 통일이 필요한 순간을 풀이 과정에서 찾아낼 수 있다.
서술형으로 바꾼 확인 문제
다음 부등식을 풀고, 공통 밑과 부등호 방향의 근거를 문장으로 쓰게 한다.
(1/4)x-1 ≥ 8
1/4=2-2, 8=23이므로
2-2(x-1) ≥ 23
이다. 공통 밑 2>1이므로 방향을 바꾸지 않고
-2(x-1)≥3 → -2x+2≥3 → -2x≥1 → x≤-1/2
을 얻는다. 이 문제에서는 밑을 통일하는 것뿐 아니라 지수식 안의 음수 계수로 나눌 때 부등호가 바뀌는지도 확인해야 한다. 선택지 없이 공통 밑, 밑의 범위, 부등호 방향, 최종 해를 모두 직접 적었을 때 새로운 조건에서도 같은 판단이 이어진다.