경계 조건을 다시 확인하는 법선의 방정식 풀이
창천동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 서대문구의 명지고등학교·이화여자대학교사범대학부속이화금란고등학교·가재울고등학교·중앙여자고등학교·인창고등학교 등은 통학권 참고 범위로만 볼 수 있다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습량에 따라 그래프 문제를 정리하는 방식도 달라질 수 있다.
후보값을 구한 뒤 범위를 다시 대조하기
학생은 다음 함수의 그래프에서 접선의 기울기가 2가 되는 점의 법선을 구하는 문제를 풀었다.
함수: \(f(x)=x^3-3x^2+2x\), \(\;0<x\le 3\)
먼저 도함수를 구하면
\[ f'(x)=3x^2-6x+2 \]
접선의 기울기가 2이므로
\[ 3x^2-6x+2=2 \] \[ 3x^2-6x=0 \] \[ 3x(x-2)=0 \]
따라서 후보는 \(x=0,2\)이다. 그런데 문제의 범위가 \(0<x\le3\)이므로 \(x=0\)은 제외되고 실제 점의 좌표는 \(x=2\)만 남는다.
\[ f(2)=8-12+4=0 \]
접선의 기울기가 2이므로 법선의 기울기는 \(-\frac12\)이다. 따라서 법선은
\[ y-0=-\frac12(x-2) \]
즉,
\[ \boxed{y=-\frac12x+1} \]
실제 오답과 수정 과정
학생의 오답: \(3x(x-2)=0\)에서 \(x=0,2\)를 얻은 뒤, 이전 문제에서 사용한 경계값 \(x=0\)을 그대로 선택하여 \(f(0)=0\), 법선 \(y=-\frac12x\)라고 작성했다.
이 식은 오답이다. \(x=0\)은 후보 방정식의 해이지만, 문제에서 \(0<x\)라고 했으므로 허용되는 점이 아니다. 후보값을 구하는 단계와 실제 정의역에 속하는지를 판단하는 단계는 분리해야 한다.
- 틀린 줄 표시: \(x=0\)을 최종 좌표로 선택한 부분
- 조건 확인: \(0<x\le3\)에서 \(x=0\)은 제외
- 식 수정: \(x=2\), \(f(2)=0\)을 사용하여 \(y=-\frac12(x-2)\)
- 대입 검산: \(x=2\)를 대입하면 \(y=0\), 원래 그래프의 점 \((2,0)\)을 지난다
또한 법선의 기울기와 접선의 기울기를 곱하면
\[ 2\cdot\left(-\frac12\right)=-1 \]
이므로 두 직선이 서로 수직이라는 것도 확인할 수 있다. 표에는 \(x=0,2\)를 모두 적되, 식 옆에 \(x=0\)은 제외값이라고 괄호로 표시하면 조건 누락을 줄일 수 있다.
수직접선이 나타나는 변형 검증
이번에는 함수가 명시적으로 \(y=f(x)\)로 주어지지 않고 다음 곡선으로 주어졌다고 하자.
\[ x=(y-1)^2+2 \]
점 \((2,1)\)에서 접선과 법선을 구한다. \(x\)를 \(y\)에 대해 미분하면
\[ \frac{dx}{dy}=2(y-1) \]
\(y=1\)에서 \(\frac{dx}{dy}=0\)이므로 \(dy/dx\)는 정의되지 않는다. 따라서 접선은 수직선
\[ x=2 \]
이고, 그에 수직인 법선은 수평선
\[ \boxed{y=1} \]
이 경우에는 접선 기울기를 유한한 수로 놓고 \(-1/m\)을 적용할 수 없다. 마지막으로 \((2,1)\)을 두 직선에 대입하면 접선 \(x=2\), 법선 \(y=1\) 모두 점을 지나므로 새 조건에서도 결과를 역검산할 수 있다.