창천동고1수학과외, 상하 이동량 q를 y좌표 변화로 읽는 법
함수의 그래프를 위아래로 옮길 때에는 식의 모양만 보는 것보다 실제 점의 y좌표가 얼마나 변했는지 확인해야 한다. 고1 학교 프린트에서 “그래프를 위로 \(q\)만큼 평행이동한 함수”를 다룰 때, \(q\)는 x좌표 변화가 아니라 세로 방향의 변화량이다.
표시하지 않은 한 줄이 풀이를 끊은 장면
예를 들어 \(f(x)=x^2-4x+1\)의 그래프를 위로 \(q\)만큼 옮긴 그래프가 점 \((2,3)\)을 지난다고 하자. 원래 함수에서
\(f(2)=2^2-4\cdot2+1=-3\)
이므로 \(x=2\)일 때 원래 그래프의 점은 \((2,-3)\)이다. 새 그래프의 같은 x좌표에서 y좌표는 3이므로 상하 이동량은
\(q=3-(-3)=6\)
이다. 따라서 이동한 함수는 \(y=x^2-4x+1+6=x^2-4x+7\)이다.
그런데 학생의 답안에는 \((2,-3)\)과 \((2,3)\)을 적은 뒤 y좌표의 차이를 표시하지 않고 곧바로 \(q=3\)이라고 쓴 흔적이 있었다. 위로 이동했다는 방향만 보고 새 점의 y좌표를 이동량으로 착각한 것이다. \(q\)는 도착한 좌표가 아니라 출발점에서 도착점까지의 변화량이다.
두 점의 x좌표가 같다는 조건부터 붙인다
상하 이동에서는 그래프의 점이 좌우로 움직이지 않는다. 그러므로 원래 점을 \((a,f(a))\), 이동한 점을 \((a,f(a)+q)\)로 나타낼 수 있다. 이 관계에서
\(q=(f(a)+q)-f(a)\)
가 성립한다. x좌표가 달라진 두 점을 비교하면 기울기나 가로 이동을 섞게 되므로, 먼저 같은 x좌표인지 확인해야 한다.
앞의 문제에서는 \(a=2\), \(f(a)=-3\), 이동한 y좌표가 3이다. 따라서 답안에 \((2,-3)\rightarrow(2,3)\), y좌표 변화 \(3-(-3)=6\)을 한 줄로 남겨야 한다.
오답표의 빈칸을 계산 과정으로 바꾸기
누락된 위치에는 말로 “상하 이동량 확인”이라고만 적지 않고 다음 순서를 직접 쓴다.
- 원래 그래프에서 같은 x좌표의 y값을 계산한다.
- 이동한 그래프에서 그 x좌표의 y값을 읽는다.
- 새 y값에서 원래 y값을 빼 \(q\)를 구한다.
- 구한 값을 식 \(y=f(x)+q\)에 대입해 점을 다시 확인한다.
예를 들어 \(f(2)=-3\)에 \(q=6\)을 더하면 \(-3+6=3\)이므로 이동한 그래프가 \((2,3)\)을 지난다는 조건과 일치한다. 이처럼 계산 결과를 원래 조건에 되돌려 넣어야 부호가 뒤집히는 오류도 잡을 수 있다.
학교 프린트의 표현이 달라도 첫 줄을 고르는지 보기
서대문구 통학권의 명지고등학교, 이화여자대학교사범대학부속이화금란고등학교, 가재울고등학교, 중앙여자고등학교, 인창고등학교 등은 학교별 프린트와 주간 일정이 다를 수 있으므로, 특정 학교의 출제 방식을 단정하기보다 학생이 받은 자료에서 이 판단을 재현하는지가 중요하다.
시험 직전 새 교재의 유사 문제로 넘어가기보다 아직 표시하지 않은 학교 프린트의 해당 문항을 먼저 펼친다. 문제에 “\(y\)축 방향으로 \(q\)만큼 이동”처럼 교과서와 다른 표현이 나와도, 학생이 곧바로 같은 x좌표의 원래 y값과 새 y값을 찾는지 관찰한다.
순서를 알려 주지 않은 변형 문항
이번에는 \(g(x)=x^2+2x-5\)의 그래프를 아래로 \(r\)만큼 이동한 그래프가 \((-1,-8)\)을 지난다고 하자. 학생이 먼저 계산해야 할 값은
\(g(-1)=(-1)^2+2(-1)-5=-6\)
이다. 새 y좌표가 \(-8\)이므로 변화량은
\(-8-(-6)=-2\)
이다. 따라서 \(r=2\)이고, 함수식은 \(y=g(x)-2=x^2+2x-7\)이다.
이 문제에서 학생이 “아래로 2”라고 말하는 데 그치지 않고 \(-8-(-6)=-2\)를 스스로 적는지 확인한다. 상하 이동량의 부호와 이동의 크기를 구분해 기록하면, 표현이 바뀐 프린트에서도 첫 풀이 행동을 스스로 선택할 수 있다.