염리동 고3수학과외에서 접점의 범위를 다시 확인하는 접선 풀이
염리동 지역 내 고등학교인 서울여자고등학교와 서울디자인고등학교 학생을 지도할 때, 방과후 이동 뒤 확보한 자습시간에는 풀이 결과보다 접점의 조건을 먼저 확인하도록 연습했다. 같은 마포구의 상암고등학교, 광성고등학교, 홍익대학교사범대학부속여자고등학교 학생에게도 학교별 경향을 단정하기보다 통학 후 풀이 과정을 점검하는 방식으로 적용할 수 있다.
제외된 접점을 그대로 사용한 오답
함수 \(f(x)=x^3-3x^2+2x\)의 그래프 위 점에서 기울기가 \(2\)인 접선의 방정식을 구하되, 접점의 \(x\)좌표가 \(0
학생은 먼저
\(f'(x)=3x^2-6x+2\)
에서 접선의 기울기가 \(2\)이므로
\(3x^2-6x+2=2\), \(3x(x-2)=0\)
을 얻었다. 여기까지는 맞지만, \(x=0,2\)를 모두 사용해 다음과 같이 적었다.
오답: 접선은 \(y=2x\) 또는 \(y=2x-4\)이다.
이 식은 틀렸다. 문제의 범위가 \(0
범위와 접점 좌표를 연결한 수정
먼저 해를 구한 뒤 반드시 범위에 대입한다.
- \(3x(x-2)=0\)에서 \(x=0,2\)
- \(0
- \(f(2)=8-12+4=0\)
- 접점은 \((2,0)\), 접선의 기울기는 \(f'(2)=2\)
따라서 접선은
\(y-0=2(x-2)\), 즉 \(y=2x-4\)이다.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 미분으로 기울기 확인 → 범위에 접점 대입 → 함수값 계산 → 접선식을 원함수의 접점에 대입하는 순서를 고정했다. 실제로 \(x=2\)를 \(y=2x-4\)에 넣으면 \(y=0\)이고, 원함수에서도 \(f(2)=0\)이므로 접점이 일치한다. 반면 \(y=2x\)는 \(x=0\)에서만 맞아 범위 조건을 만족하지 않는다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 \(g(x)=x^3-4x^2+x\)에서 그래프 위 접점의 \(x\)좌표가 \(1\le x\le3\)이고, 접선의 기울기가 \(1\)인 경우를 풀었다.
\(g'(x)=3x^2-8x+1\)이므로
\(3x^2-8x+1=1\), \(3x^2-8x=0\), \(x(3x-8)=0\)
이다. 후보는 \(x=0,\frac83\)이지만 \(1\le x\le3\)에서 남는 값은 \(x=\frac83\)이다.
\(g\left(\frac83\right)=\frac{512}{27}-\frac{768}{27}+\frac{72}{27}=-\frac{184}{27}\)이므로 접점은 \(\left(\frac83,-\frac{184}{27}\right)\)이다. 따라서 접선은
\(y+\frac{184}{27}=x-\frac83\), 곧 \(y=x-\frac{256}{27}\)이다.
끝으로 \(x=\frac83\)을 접선에 대입하면 \(y=-\frac{184}{27}\)이 되고, \(g\left(\frac83\right)\)과 같아 원식 검산도 통과한다. 이 과정을 통해 학생은 기울기만 맞추는 것이 아니라 후보 접점, 범위, 함수값을 함께 확인하는 습관을 형성했다.