염리동고2수학과외에서는 지수부등식을 풀 때 계산 속도보다 밑의 범위와 해집합의 교집합을 먼저 확인하도록 지도합니다. 염리동에는 서울여자고등학교와 서울디자인고등학교가 있고, 같은 마포구의 상암고등학교·광성고등학교·홍익대학교사범대학부속여자고등학교는 참고 학교로 구분됩니다. 방과 후 이동 시간을 제외하고 확보한 자습 시간에는 풀이 절차가 새로운 식에서도 유지되는지 확인해야 합니다.
밑이 1/2이면 부등호 방향이 바뀐다
학생의 풀이 첫 줄에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.
(1/2)x > (1/2)3 이므로 x > 3
이 식의 오류는 부호에 해당합니다. 밑 1/2는 0<1/2<1이므로 지수함수는 감소합니다. 따라서 지수가 커질수록 값은 작아집니다.
(1/2)x > (1/2)3 ⟹ x < 3
밑이 1보다 큰 경우와 비교하면 방향을 분명히 구분할 수 있습니다.
a>1이면ap > aq ⟹ p>q0<a<1이면ap > aq ⟹ p<q
각 부등식의 해를 구한 뒤 교집합을 남긴다
직전 문제의 절차를 그대로 복사하면 안 되는 변형 문제를 제시했습니다.
(1/2)x > (1/2)3 이고 2x-1 ≥ 8
첫 번째 부등식은 밑이 1/2이므로
x<3
두 번째 부등식은 8=23으로 바꾸고 밑이 2보다 크므로
2x-1 ≥ 23 ⟹ x-1≥3 ⟹ x≥4
따라서 두 조건을 동시에 만족해야 하므로
x<3과 x≥4의 교집합은 공집합이다.
한 부등식의 해만 적고 끝내면 안 되며, 각각의 해를 수직선에 표시한 뒤 겹치는 구간이 있는지 확인해야 합니다.
오류 유형을 하나만 골라 다시 확인하는 훈련
비슷한 오답이 보이면 조건·부호·범위·공식 중 하나를 선택해 그 항목만 점검합니다. 이 사례에서는 부호를 선택합니다.
답안 첫 줄에 다음을 먼저 적습니다.
0<1/2<1 → 감소함수 → 지수 비교 시 부등호 반대
그 후 (1/2)x > (1/2)3을 x<3으로 바꾸고, 다른 부등식의 해와 교집합을 확인합니다. 이렇게 하면 이전 예제의 결론을 기계적으로 옮기는 대신 밑의 범위를 근거로 방향을 결정하게 됩니다.
다른 계수와 밑에서도 교집합을 확인하는가
하루 뒤에는 다음 문제로 풀이 행동을 확인합니다.
(1/3)2x-1 < (1/3)5 이고 4x+1 ≥ 23x-1
첫 번째 부등식은 밑이 1/3인 감소함수이므로
2x-1>5 ⟹ x>3
두 번째 부등식은 4x+1=22x+2으로 바꾸면
22x+2 ≥ 23x-1 ⟹ 2x+2≥3x-1 ⟹ x≤3
따라서 해의 교집합은
x>3과 x≤3의 교집합인 공집합입니다.
새로운 계수와 표현으로 바뀌어도 밑의 증가·감소를 판별하고, 각 해를 구한 뒤 마지막에 교집합을 확인했다면 수정된 풀이가 유지된 것으로 볼 수 있습니다.