연남동중3수학과외, 연속한 수 문제에서 답 뒤의 근거까지 확인하기
학생은 다음 문제의 답을 8이라고 적었다.
연속한 세 정수의 합이 24일 때 가장 큰 수를 구하여라.
풀이에는 24÷3=8
만 남아 있었다. 답 자체는 맞지만, 8은 세 수 중 가운데 수일 뿐 가장 큰 수는 아니다. 연속한 세 정수를 하나의 수로 묶어 해석하지 않고, 합을 나누어 나온 값을 곧바로 구하는 대상이라고 판단한 장면이다. 이때 필요한 것은 계산량을 늘리는 일이 아니라, 문장에서 요구한 수와 식이 나타내는 수가 같은지 확인하는 습관이다.
8이 나타내는 위치부터 다시 읽기
연속한 세 정수의 가운데 수를 x로 두면 세 수는 x-1, x, x+1이다. 합이 24이므로
(x-1)+x+(x+1)=24
가 된다. 좌변을 정리하면 3x=24, 따라서 x=8이다. 그러나 문제는 가운데 수가 아니라 가장 큰 수를 물었으므로 x+1을 계산해야 한다. 정답은 9이다.
수업에서는 학생에게 정답만 지우게 하지 않고, 각 기호가 어느 수를 뜻하는지 식 옆에 직접 적게 했다. x는 가운데 수, x-1은 가장 작은 수, x+1은 가장 큰 수라고 표시한 뒤, 마지막 줄에 세 수를 실제로 써 보게 했다. 7, 8, 9의 합은 24이고 가장 큰 수는 9라는 두 가지 조건이 동시에 확인된다.
맞힌 계산도 조건을 통과해야 한다
연속한 수 문제에서 학생이 자주 하는 행동은 식을 세운 뒤 계산 결과만 동그라미 치는 것이다. 하지만 답이 요구 조건에 맞는지는 별도로 확인해야 한다. 예를 들어 연속한 네 정수의 합이 14일 때를 보자. 가장 작은 수를 x로 두면
x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=14
이고 4x+6=14, x=2이다. 따라서 네 수는 2, 3, 4, 5이다. 학생이 2만 적었다면 계산 결과는 맞지만 문제의 질문인 네 수를 모두 제시하지 않은 셈이다. 반대로 2, 3, 4, 6을 적었다면 합은 15가 되어 연속 조건을 지키지 못한다.
학생의 풀이 점검표는 길게 만들지 않았다. 마지막에 다음 세 문장만 말하도록 했다.
- 내가 둔 x는 몇 번째 수인가?
- 구한 수들이 실제로 연속하는가?
- 모든 수의 합이 문제의 값과 같은가?
이 질문에 답하면서 식과 조건을 함께 대조하면, 답을 기억해 적는 방식에서 벗어나 자신이 세운 식이 문제를 제대로 표현했는지 확인할 수 있다.
음의 정수와 홀수 조건에서 드러난 막힘
다음에는 조건을 바꾸었다.
연속한 세 정수의 합이 -21일 때 가장 작은 수를 구하여라.
학생은 -21÷3=-7까지 계산한 뒤 -7을 정답으로 썼다. 여기서도 -7은 가운데 수다. x를 가운데 수로 두면 x=-7이고, 가장 작은 수는 x-1=-8이다. -8, -7, -6의 합은 -21이므로 정답과 검산이 모두 맞는다.
학생은 음수 계산에서 부호를 바꾸는 실수보다, 구하는 대상과 기준이 되는 수를 혼동하고 있었다. 그래서 식을 세우기 전에 문제의 마지막 말을 네모로 표시하게 했다. ‘가장 작은 수’라면 x-1, ‘가장 큰 수’라면 x+1, ‘가운데 수’라면 x라고 연결한다. 음수인 경우에도 이 순서는 변하지 않는다는 점을 수직선에 표시해 확인했다. -8은 -7보다 왼쪽에 있으므로 실제로 더 작은 수라는 설명까지 붙였다.
연남동의 일정 안에서 풀이 검사를 고정하기
연남동의 지역 내 중학교로 확인된 경성중학교와, 같은 마포구의 광성중학교·동도중학교·상암중학교·서울여자중학교는 구분해서 보아야 한다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 다를 수 있으므로 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 학생이 다니는 학교의 범위와 평일 귀가 시간을 먼저 놓고 연속한 수 문제를 배치하는 편이 현실적이다. 대명아파트와 에덴지우아파트 등이 확인되는 생활권에서 이동 시간을 고려하면, 긴 문제집 진도보다 하루 한두 문항을 풀고 검산 문장을 완성하는 일정이 적합한 경우도 있다.
예를 들어 귀가 후 처음에는 학교 프린트의 기본 문제를 풀고, 다음 시간에는 숫자와 질문만 바꾼 문제를 독립적으로 확인한다. 풀이 시간보다 마지막 3분을 식·성질·조건 점검에 배정한다. 이 과정은 지역 내 어느 학교 학생에게나 같은 시험이 나온다는 뜻이 아니라, 실제 시험 범위 안에서 답안의 완성도를 확인하는 학습 장치다.
새 조건에서 같은 답을 외우지 않았는지 확인
수업 후 학생에게 다음 문제를 별도의 예시 없이 제시했다.
연속한 다섯 홀수의 합이 45일 때 가장 큰 수를 구하여라.
이번에는 학생이 먼저 홀수의 간격이 2라는 점을 말하고, 가운데 수를 x로 두어 x-4, x-2, x, x+2, x+4로 표현했다. 5x=45이므로 x=9, 가장 큰 수는 13이다. 5, 7, 9, 11, 13을 대입하면 합은 45이고 모두 홀수이며 일정한 간격으로 이어진다.
앞의 문제와 숫자만 바꾼 것이 아니라, 정수의 간격을 1에서 2로 바꾸고 수의 개수도 세 개에서 다섯 개로 바꾸었다. 그런데도 학생은 ‘나눈 값이 곧 정답’이라고 쓰지 않고, 먼저 기준 수를 정한 뒤 질문에 해당하는 항을 골랐다. 연속한 수 문제에서 독립적으로 적용했다는 판단은 정답 13보다 이 첫 행동과 검산 과정에서 확인된다.
연속한 수 문제의 풀이가 끝났다는 기준은 계산 결과를 맞히는 데 있지 않다. 둔 수가 무엇인지 설명하고, 연속 또는 홀수 조건을 식에 반영했으며, 구한 수를 다시 넣어 합과 질문의 대상을 확인할 수 있어야 한다.