연남동중2수학과외, 닮음비 k와 넓이비 k²를 구분하는 프린트 변형문제 훈련
연남동에서 중2 수학을 공부할 때 닮음 단원은 공식을 외웠는지보다 대응점을 끝까지 같은 순서로 유지하는지가 더 중요하다. 특히 학교 프린트의 첫 변형문제에서는 그림의 방향이 바뀌거나 조건이 하나 더 붙으면서, 길이비와 넓이비를 서로 바꾸어 쓰는 실수가 나타난다. 닮음비를 k로 정했다면 대응하는 길이의 비는 k이고, 대응하는 넓이의 비는 k²라는 원칙을 한 줄씩 분리해 기록해야 한다.
프린트의 숫자보다 먼저 확인할 것
학생은 수업에서 본 예제와 같은 모양이면 곧바로 숫자를 대입한다. 그러나 변형문제에서는 작은 삼각형 ABC와 큰 삼각형 DEF가 제시되어도 A가 D에, B가 E에, C가 F에 대응한다는 표시를 먼저 하지 않는다. 그림의 위치만 보고 “AB와 DF가 대응하겠지”라고 판단한 뒤, 실제 조건과 다른 비례식을 세우는 식이다.
예를 들어 △ABC∽△DEF이고 AB=4, DE=10이라면 닮음비를 작은 도형에서 큰 도형으로 정할 때 k=10/4=5/2이다. 이때 대응하는 변의 길이비는 2:5이고, 넓이비는 4:25이다. 학생이 2:5를 넓이비에도 그대로 쓰면 공식 암기 문제가 아니라 비의 대상과 방향을 확인하지 않은 오류가 된다.
닮음비를 정하기 전에 대응점, 대응변, 비의 방향을 한 줄에 고정한다. 그 다음 길이는 k, 넓이는 k²로 별도 기록한다.
현재 막힘은 ‘닮음 조건을 모름’과 다르다
현재 학생은 두 도형이 닮았다는 조건과 닮음의 뜻은 설명할 수 있다. 하지만 학교 프린트에서 표현이 달라지면 대응점의 순서를 유지하지 못한다. 첫 문항에서는 △ABC∽△DEF를 보고 AB와 DE를 바르게 연결하다가, 다음 문항에서 도형이 회전되어 있으면 AC와 DE를 잘못 짝짓는다. 풀이 중간에 비의 방향을 바꾸고도 처음 정한 k와 맞는지 검토하지 않는다.
또 길이 하나를 구한 뒤 넓이를 묻는 문항에서 “닮음비가 3이므로 넓이도 3배”라고 답한다. 이는 계산 실수로 묶을 수 없다. 대응 오류와 넓이비 개념 오류가 함께 나타난 장면이므로, 각각의 원인을 나누어 고쳐야 한다.
한 문항을 세 줄 기록으로 바꾸기
- 첫째 줄에는 대응점을 같은 순서로 쓴다. 예: A↔D, B↔E, C↔F.
- 둘째 줄에는 대응변을 같은 방향으로 적는다. 예: AB↔DE, BC↔EF, CA↔FD.
- 셋째 줄에는 닮음비 k와 넓이비 k²를 따로 적는다.
학교 프린트 오답은 여러 장을 한꺼번에 다시 풀지 않고 한 문항만 선택한다. 학생은 먼저 그림 위에 A-D, B-E, C-F를 직접 표시한다. 그 뒤 “작은 도형→큰 도형”처럼 비의 방향을 말로 정하고, 모든 비례식이 같은 방향인지 확인한다. 길이비가 2:5라면 k=5/2 또는 작은 도형에서 큰 도형으로 정한 비를 일관되게 사용해야 한다. 넓이를 묻는 순간에는 길이비를 그대로 옮기지 않고 (5/2)²=25/4라고 다시 계산한다.
수행평가 자료는 긴 서술형 대신 짧은 지필형 문항으로 바꾼다. “왜 넓이비가 25:4인지 설명하시오”라는 질문에 “대응하는 길이가 모두 5/2배이고, 넓이는 두 방향의 길이가 곱해지므로 (5/2)²이다”처럼 근거를 한 문장으로 쓰게 한다. 답만 맞히는 상태에서 벗어나 대응과 제곱의 이유를 확인할 수 있다.
연남동 학습 일정에 맞춘 적용
연남동에는 경성중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 같은 마포구의 광성중학교·동도중학교·상암중학교·서울여자중학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 시험 범위나 수행평가 일정은 실제 안내문을 기준으로 확인해야 하며, 특정 학교의 출제 경향을 단정하지 않는다. 대명아파트와 에덴지우아파트 등 생활권에서 귀가하는 학생은 평일 시간을 길게 확보하기보다 학교 프린트 한 문항의 대응점 표시와 독립 검증까지 끝내는 계획이 적절하다.
시험 범위에 닮음이 포함된 주에는 귀가 후 25분 동안 오답 한 문항을 세 줄 기록으로 고치고, 다음 15분에는 숫자와 도형 방향을 바꾼 새 문항을 푼다. 수행평가가 가까운 날에는 풀이를 길게 늘리기보다 대응점과 비의 방향을 말로 설명한 뒤 서술형 근거를 완성한다.
새 도형에서 다시 맞히는지 확인하기
같은 프린트 문제를 다시 맞힌 것만으로는 충분하지 않다. 작은 도형과 큰 도형의 위치를 바꾸고, 대응점의 이름도 P↔X, Q↔Y, R↔Z처럼 바꾼다. 예를 들어 대응변의 길이가 6과 9라면 작은 도형에서 큰 도형으로 닮음비는 k=9/6=3/2이고, 넓이비는 9:4가 된다. 학생이 그림의 위치가 달라져도 대응점을 먼저 적는지, 길이비 3:2를 넓이비에 그대로 쓰지 않는지 확인한다.
마지막에는 제한 시간 안에 새 문제를 풀게 한다. 숫자와 대응 순서, 묻는 대상을 바꾼 뒤에도 비례식을 한 방향으로 유지하고, 답 옆에 k 또는 k²를 표시하면 통과로 본다. 시간이 부족할 때도 그림을 오래 바라보며 추측하지 않고 대응점 세 줄을 먼저 작성하는지가 핵심 검증 기준이다.
과외에서 다루는 방식
연남동중2수학과외에서는 닮음 단원을 넓게 반복하지 않고 학생이 실제로 틀린 학교 프린트 한 문항을 중심으로 진행한다. 대응 오류인지, 넓이비 개념 오류인지, 비의 방향을 중간에 바꾼 오류인지 표시한 뒤 수정 행동을 바로 적용한다. 이후 숫자와 도형 배치를 바꾼 문제에서 독립적으로 확인하고, 풀이 근거까지 말할 수 있을 때 다음 문항으로 넘어간다.
자주 묻는 질문
닮음비를 k로 두면 넓이비는 항상 k²인가요?
닮은 도형의 대응하는 길이의 비가 k일 때 넓이비는 k²이다. 단, 어떤 도형에서 어떤 도형으로 정했는지 비의 방향을 끝까지 같게 유지해야 한다.
그림이 회전되어 있으면 어떻게 대응하나요?
도형의 위치가 아니라 닮음 기호와 조건을 기준으로 대응점을 먼저 정한다. 대응점을 정한 뒤 대응변을 같은 순서로 연결한다.