“연속한 두 자연수의 곱이 156일 때 두 수를 구하시오.” 아현중학교 3학년 학생은 이 문제를 보자마자 12와 13을 적었다. 답은 맞았지만, 왜 12와 13을 선택했는지 식으로 설명하지 못했다. 반대로 “연속한 두 홀수의 곱이 143”으로 숫자와 조건이 바뀌자 10과 11을 적고, 홀수라는 조건을 놓쳤다.
연속한 수 문제는 계산보다 먼저 조건을 식으로 바꾸는 과정이 중요하다. 특히 ‘연속한 자연수’, ‘연속한 정수’, ‘연속한 홀수’는 비슷해 보이지만 수 사이의 차이가 다르다. 아현동에서 중3 수학과외를 진행할 때도 학교 프린트의 문장을 곧바로 공식에 넣기보다, 학생이 어떤 수를 첫 번째 수로 정했는지와 다음 수를 어떻게 표현했는지를 먼저 확인한다.
12와 13을 바로 쓰기 전에 첫 수를 x로 정하기
연속한 두 자연수를 x, x+1로 두면 곱이 156이라는 조건은 다음처럼 바뀐다.
x(x+1)=156
이를 정리하면 x²+x-156=0이고, 인수분해하면 다음과 같다.
(x-12)(x+13)=0
따라서 x=12 또는 x=-13이다. 문제에서 자연수라고 했으므로 x=-13은 제외하고, 두 수는 12와 13이다. 여기서 학생이 해야 할 일은 단순히 답을 찾는 것이 아니라, 음의 해를 왜 제외하는지 문장의 조건으로 설명하는 것이다.
학생의 첫 풀이에는 흔히 다음과 같은 모습이 나타난다.
12×13=156이므로 답은 12, 13이다.
이 계산은 답을 확인하는 데는 쓸 수 있지만, 문제의 조건을 식으로 나타낸 풀이가 아니다. 지도할 때는 ‘두 수의 차가 1’이라는 조건에 밑줄을 긋고, 첫 수를 x로 정한 뒤 두 번째 수를 반드시 x+1로 쓰게 한다. 마지막에는 구한 두 수를 원래 문장에 대입해 곱과 수의 관계를 각각 확인한다.
자연수와 정수는 해를 고르는 기준이 다르다
같은 식이라도 문제의 범위가 달라지면 해를 처리하는 방식이 달라진다. 예를 들어 “연속한 두 정수의 곱이 156”이라면 x=12에서 12, 13을 얻고, x=-13에서는 -13, -12를 얻는다. 두 쌍 모두 곱이 156이므로 정수라는 조건에서는 음의 해도 제외할 수 없다.
학생이 자주 하는 실수는 이차방정식의 해를 하나만 남기는 것이다.
x²+x-156=0이므로 x=12, 따라서 두 수는 12와 13이다.
이 풀이에서는 x=-13을 확인하지 않았다. ‘자연수’라는 조건이 있을 때만 음의 해를 제외할 수 있으며, ‘정수’라면 두 해를 모두 검토해야 한다. 따라서 문제를 읽을 때 구하는 수의 범위를 동그라미로 표시하고, 해를 지우기 전에 그 이유를 옆에 적도록 수정한다.
연속한 홀수는 x와 x+2로 표현한다
조건이 바뀌었을 때도 첫 행동이 유지되는지 확인하기 위해 다음 문제를 제시했다.
“연속한 두 홀수의 곱이 143일 때 두 홀수를 구하시오.”
처음 학생은 10×11=110을 계산한 뒤, 11과 13을 후보로 적었다. 하지만 11과 13의 곱은 143이고, 두 수 모두 홀수이며 차는 2이다. 이 문제에서 연속한 홀수는 x와 x+2로 두어야 한다.
x(x+2)=143
x²+2x-143=0
(x-11)(x+13)=0
x=11 또는 x=-13이다. 자연수인 홀수를 묻는 문제라면 11과 13을 선택한다. 학생에게는 ‘연속’이라는 단어만 보고 항상 x+1을 쓰지 말고, 짝수인지 홀수인지에 따라 다음 수까지의 간격을 먼저 확인하게 했다. 짝수도 연속한 두 짝수라면 x와 x+2로 표현한다.
문장 속 구하는 대상이 첫 수인지 전체 수인지 확인하기
연속한 세 정수의 합이나 곱을 묻는 문제에서는 표현을 더 정확히 해야 한다. 연속한 세 정수를 x-1, x, x+1로 두면 가운데 수를 기준으로 대칭이 되어 합을 간단히 정리할 수 있다. 반면 첫 번째 수를 x로 정하면 x, x+1, x+2가 된다. 두 방식 모두 가능하지만, 구하는 대상과 조건을 끝까지 같은 기준으로 유지해야 한다.
학생이 x, x+1, x+2로 세운 뒤 마지막에 x를 가운데 수라고 설명하는 경우가 있었다. 이때는 식 전체를 다시 풀게 하기보다, 풀이 첫 줄에 “첫 번째 수를 x로 둔다”라고 쓰게 했다. 그러면 x+1과 x+2의 의미가 흔들리지 않는다. 조건을 식으로 바꾸는 순간의 약속을 명확히 하는 것이 현재 오류를 직접 줄이는 방법이다.
아현동 통학 뒤 짧은 시간에도 조건표를 남기는 연습
아현동가구단지와 래미안프루지오1단지 주변에서 아현중학교 학생의 방과후 이동 동선을 고려하면, 긴 풀이를 여러 장 쓰기보다 수업 초반에 문장 조건을 짧게 표로 정리하는 방식이 현실적이다. 지역 내 학교로 확인된 아현중학교와 마포구 내 참고 학교인 경성중학교·광성중학교·동도중학교·상암중학교는 구분해 보아야 하며, 참고 학교의 시험 경향을 아현중학교에 그대로 적용하지 않는다.
수업에서는 이동 후 확보된 자습시간에 다음 세 칸만 작성하게 했다.
- 수의 종류: 자연수, 정수, 홀수 중 무엇인가
- 수 사이의 간격: 1인지 2인지
- 첫 수를 x로 둘 때 다음 수의 식은 무엇인지
이 표를 만든 뒤에야 이차방정식을 세운다. 이미 인수분해가 가능한 식인지 살펴보고, 두 해를 모두 구한 다음 문제의 범위와 맞지 않는 해만 이유를 적어 제외한다.
숫자와 구하는 대상이 바뀐 문제에서 독립 확인
다음 검증에서는 곱이 아니라 “연속한 두 정수의 제곱의 합이 85”인 문제를 제시했다. 학생은 처음에 x와 x+1을 그대로 사용했다.
x²+(x+1)²=85
2x²+2x-84=0
2(x²+x-42)=0
(x-6)(x+7)=0
x=6 또는 x=-7이므로, 정수 조건에서는 (6, 7)과 (-7, -6)을 모두 확인해야 한다. 학생은 이번에는 정답을 먼저 추측하지 않고, “두 정수의 차가 1이므로 x와 x+1”이라고 말한 뒤 식을 세웠다. 또한 양의 해만 남기지 않고 두 쌍을 각각 제곱해 합이 85인지 검산했다.
연속한 수 문제에서 학습이 진행되었다고 판단하는 기준은 비슷한 예제를 바로 맞히는 데 있지 않다. 수의 범위, 수 사이의 간격, 구하는 대상이 바뀌어도 학생이 먼저 조건을 표시하고 알맞은 식을 스스로 선택하는지가 기준이다. 그 첫 줄이 바뀌면 숫자가 달라진 문제에서도 풀이 전체가 흔들리지 않는다.