아현동중2수학과외, 전체 경우와 사건을 나눠 확률식 세우기
확률 문제에서 답은 맞혔지만 “왜 이 식을 세웠는가?”라는 질문에 설명하지 못하는 학생이 있다. 계산 결과가 우연히 맞은 것과 문제의 조건을 읽고 확률을 구성한 것은 다르다. 중2에서는 먼저 가능한 전체 경우를 정리하고, 그중 사건에 해당하는 경우를 골라 확률식을 세우는 과정이 중요하다.
확률식은 계산보다 목록 정리에서 시작된다
예를 들어 주머니에 빨간 공 2개와 파란 공 3개가 있고 공 하나를 꺼낼 때 빨간 공이 나올 확률을 구한다고 하자. 전체 공은 5개이고, 원하는 사건은 빨간 공이 나오는 경우 2개이다.
따라서 확률은
빨간 공이 나올 확률 = 빨간 공의 개수 ÷ 전체 공의 개수 = 2÷5
가 된다. 여기서 분모에 5를 쓰는 이유는 가능한 전체 결과가 5개이기 때문이다. 분자에 2를 쓰는 이유는 그중 사건에 해당하는 결과가 2개이기 때문이다. 학생이 이 두 목록을 구분하지 않으면 분모와 분자를 뒤집거나, 조건에 없는 결과를 임의로 더하게 된다.
아현동 학생에게 나타난 실제 막힘
한 학생은 숫자만 바뀐 문제에서 “주사위에서 짝수가 나올 확률”을 구하며 분모에 짝수의 개수인 3을 쓰고, 분자에는 주사위 전체 눈의 개수인 6을 적었다. 계산 과정에서 3÷6을 쓰려다가 답을 6÷3으로 바꾸기도 했다. 학생은 확률이 1보다 클 수 없다는 점은 알고 있었지만, 처음 식에서 분모와 분자를 왜 그렇게 정했는지는 설명하지 못했다.
또 다른 문제에서는 주사위 두 개를 던져 합이 5가 되는 경우를 묻자 1부터 12까지의 합을 전체 경우로 세었다. 그러나 주사위 두 개의 결과는 합의 값만 나열하는 것이 아니라 순서가 있는 두 수의 조합으로 세어야 한다. 전체 경우는 6×6=36가지이고, 합이 5인 경우는 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)의 4가지이므로 확률은 4/36=1/9이다.
오답 원인을 계산 실수로 묶지 않는다
- 전체 경우와 사건에 해당하는 경우를 구분하지 못하는 개념 오류
- 두 주사위의 순서를 고려하지 않는 경우 누락
- 같은 경우를 다른 이름으로 두 번 세는 중복
- 문제의 조건을 읽지 않고 분모를 임의로 정하는 확률 설정 오류
- 분수의 약분 과정에서 생기는 계산 오류
- 답은 맞아도 식을 세운 근거를 쓰지 않는 서술형 근거 누락
이 구분을 해야 필요한 훈련이 달라진다. 경우를 빠뜨렸다면 수형도나 표가 필요하고, 분모를 잘못 정했다면 전체 경우를 먼저 고정하는 습관이 필요하다.
확률을 세우는 네 칸 기록법
문제를 풀 때 바로 나눗셈을 하지 않고 다음 네 칸을 먼저 작성한다.
- 실험에서 한 번 선택하거나 발생하는 것은 무엇인가
- 가능한 전체 결과는 무엇인가
- 문제에서 요구한 사건은 무엇인가
- 사건의 경우 수 ÷ 전체 경우의 수
두 주사위 문제라면 가로와 세로에 각각 1부터 6까지 적어 36칸 표를 만든다. 합이 5인 칸에만 표시하면 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)이 남는다. 이때 같은 합 5라도 결과의 순서가 다르면 서로 다른 경우라는 점을 눈으로 확인할 수 있다.
동전을 두 번 던지는 문제는 앞면과 뒷면을 가지로 나눈 수형도를 사용한다. 결과는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤 네 가지이고, 앞면이 한 번 나오는 사건은 앞뒤와 뒤앞 두 가지다. 따라서 확률은 2/4=1/2이다. ‘앞면 한 번’이라는 표현을 ‘앞면이 처음에 나오는 경우’로 바꾸지 않도록 사건의 조건을 그대로 표시한다.
답을 맞혀도 검산 기준을 바꾼다
같은 문제를 다시 푸는 것만으로는 독립 적용을 확인하기 어렵다. 다음 문제에서는 조건과 숫자를 바꾼다. 주사위 두 개의 합이 5가 아니라 8인 경우를 묻고, 전체 경우를 36가지로 유지한 채 사건을 새로 표시하게 한다. 합이 8인 경우는 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)의 5가지이므로 확률은 5/36이다.
이후에는 “합이 홀수”처럼 사건의 조건을 바꾼다. 두 눈 중 하나가 홀수이고 다른 하나가 짝수인 경우를 모두 표시하게 하면 18가지가 나온다. 답만 적지 않고 전체 경우 36가지, 사건 경우 18가지, 확률 18/36=1/2를 순서대로 기록하는지 확인한다.
마지막에는 서술형으로 “분모와 분자를 각각 무엇을 의미하는지 쓰시오”라는 조건을 붙인다. 확률값이 맞더라도 전체 경우와 사건 경우를 설명하지 못하면 완료로 처리하지 않는다.
아현동의 학습 시간에 맞춘 진행
아현중학교가 아현동에 있고, 같은 마포구에는 경성중학교·광성중학교·동도중학교·상암중학교 등이 참고 학교로 확인된다. 이 학교들을 아현동 소재 학교로 단정하지 않고, 실제 학교별 출제 경향도 추측하지 않는다. 아현동가구단지와 래미안프루지오1단지처럼 생활권 안에서 통학과 방과후 이동이 이어지는 환경에서는 긴 문제 풀이보다 이동 후 확보한 짧은 시간에 ‘전체 경우-사건 경우-확률식’ 세 칸을 정확히 채우는 훈련이 효율적이다.
과외에서는 교과서 예제와 숫자가 달라진 한 문제를 중심으로 표, 수형도, 목록 중 알맞은 방법을 선택하게 한다. 지수법칙이나 다른 단원을 추가해 분량을 늘리지 않고, 확률식의 근거를 말하고 쓰는 데 시간을 사용한다. 맞힌 문제도 원래 조건을 다시 확인하고, 분모가 전체 경우인지 대입하듯 점검한 뒤 종료한다.
자주 묻는 질문
전체 경우를 꼭 모두 나열해야 하나요?
간단한 문제는 곱셈으로 계산할 수 있지만, 처음에는 목록이나 표로 확인하는 것이 좋다. 경우의 누락과 중복을 줄인 뒤 계산식으로 옮긴다.
확률이 1보다 크면 무엇을 먼저 확인하나요?
사건의 경우 수가 전체 경우의 수보다 커졌는지, 분자와 분모를 뒤집었는지 확인한다. 전체 경우와 사건 경우를 다시 구분한다.
답만 맞으면 설명을 생략해도 되나요?
서술형이나 조건이 포함된 문제에서는 어렵다. 전체 경우, 사건 경우, 확률식을 각각 쓰고 그 이유를 한 문장으로 설명해야 독립적으로 해결한 것으로 볼 수 있다.