아현동고3수학과외

아현동 고3수학과외, 기울기보다 먼저 확인한 접점의 좌표

아현동에서 방과 후 한세사이버보안고등학교 일정을 마친 뒤 이동하는 학생은 통학 동선에 따라 확보되는 자습 시간이 달라질 수 있다. 같은 마포구의 상암고등학교, 서울여자고등학교, 광성고등학교, 홍익대학교사범대학부속여자고등학교는 참고 학교이며 아현동 소재 학교로 단정하지 않았다. 이 학생은 이동 후 짧은 시간에도 접선 문제의 첫 줄을 스스로 세우는 연습을 진행했다.

도함수의 부호와 임계점을 먼저 표시하기

문제의 함수가 f(x)=x³-4x+1이고 x=1에서의 접선의 방정식을 구한다고 하자.

학생은 먼저 도함수를 계산했다.

f'(x)=3x²-4

임계점은 f'(x)=0에서 x=±2/√3이다. 따라서 도함수의 부호는

• x<-2/√3에서 f'(x)>0
• -2/√3<x<2/√3에서 f'(x)<0
• x>2/√3에서 f'(x)>0

이 부호표는 함수의 증가·감소를 확인하는 절차다. 접선 문제에서는 접점의 x좌표가 1로 주어졌으므로, 별도의 극값 판단으로 접점을 정하지 않고 정의에 따라 (1,f(1))과 f'(1)을 각각 계산해야 한다.

틀린 줄에서 접점의 함수값을 복구하기

학생은 기울기만 계산한 뒤 다음과 같이 썼다.

f'(1)=-1이므로 접선은 y=-x이다.

이 식은 오답이다. f'(1)=-1은 접선의 기울기일 뿐, 접선이 지나는 점의 y좌표가 아니다. 실제 접점은

f(1)=1-4+1=-2이므로 (1,-2)이다. 따라서 접선의 정의인

y-f(1)=f'(1)(x-1)

에 대입하면

y+2=-(x-1)

즉, 정확한 접선은 y=-x-1이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, ‘기울기’와 ‘접점의 함수값’을 분리해 적고 식을 다시 세웠다. x=1을 대입하면 원래 함수값과 접선의 값이 모두 -2이므로 접점을 통과한다. 양변을 미분하면 접선의 기울기도 -1이어서 두 조건이 모두 맞는다.

접점을 바꾼 독립 검증

같은 방식을 반복하지 않고 함수와 접점을 바꾸어 확인했다. g(x)=x³-2x²-x+2의 x=-1에서 접선을 구하면

g(-1)=0,　g'(x)=3x²-4x-1,　g'(-1)=-2

따라서

y-0=-2(x+1)

이므로 정답은 y=-2x-2이다. 기울기만 사용한 y=-2x는 x=-1에서 y=2가 되어 접점 (-1,0)을 지나지 않는다. 학생은 새 조건에서도 함수값을 먼저 확인한 뒤 대입 검산까지 마쳐, 접선식에서 접점 좌표를 생략하면 안 된다는 관계를 독립적으로 확인했다.