아현동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습 시간에는 풀이 한 줄보다 지수의 밑을 먼저 판별하는 습관이 중요하다. 특히 지수부등식은 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지에 따라 부등호 방향이 달라진다.
밑을 확인하지 않고 부등호를 옮긴 풀이
다음 식에서 학생은 곧바로 지수를 비교했다.
(1/2)x > (1/2)3
답안에는 x>3이라고 적혀 있었다. 그러나 밑 1/2는 0과 1 사이이므로 지수함수는 감소한다. 따라서 지수가 커질수록 값은 작아진다.
실제로 x=4를 대입하면
(1/2)4 = 1/16, (1/2)3 = 1/8
이므로 1/16>1/8은 거짓이다. 반대로 x=2이면 1/4>1/8이므로 조건을 만족한다. 정확한 해는 x<3이다.
부등호 방향보다 먼저 네모 칠 조건
지수부등식에서 같은 밑의 지수를 비교하려면 밑의 범위를 먼저 적는다.
□ 0<a<1: 감소함수 → 부등호 방향을 바꾼다.
□ a>1: 증가함수 → 부등호 방향을 유지한다.
또한 지수의 밑은 실수 범위에서 a>0, a≠1이어야 한다. 예를 들어 a=1이면 양변이 항상 1이 되어 지수 비교 자체가 성립하지 않는다.
훈련할 때는 다음처럼 계산 전에 조건을 표시한다.
(1/3)2x-1 ≤ (1/3)5
밑에 네모를 치면 0<1/3<1이므로 감소함수이고, 지수의 부등호를 반대로 바꾼다.
2x−1 ≥ 5
2x ≥ 6
x ≥ 3
조건을 적지 않고 지수만 비교하면 이전처럼 방향을 반대로 쓰기 쉽지만, 밑의 범위와 방향을 한 줄로 남기면 풀이 근거도 함께 확인할 수 있다.
밑이 달라진 문제에서 다시 판별하기
다음 문제에서는 밑이 1/2가 아니다.
2x+1 > 24
이번에는 2>1이므로 증가함수이다. 따라서 부등호를 유지하여
x+1>4
이 되고, 해는 x>3이다.
반대로 밑이 바뀐 다음 식에서는 방향을 다시 판단해야 한다.
(1/4)2x ≥ (1/4)x+3
0<1/4<1이므로 부등호를 뒤집는다.
2x ≤ x+3
x ≤ 3
이처럼 새로운 문제에서 먼저 밑의 범위를 네모로 표시하고, 증가·감소 여부를 쓴 뒤, 그 결과에 맞춰 지수 비교를 했는지를 확인한다. 아현동의 통학 뒤 짧은 자습 시간에도 이 세 줄을 답안에 남기면 단순 암기가 아니라 밑의 범위에 따른 판단으로 풀이가 이어진다.