망원동 고3 수학과외: 음함수 미분에서 변수 관계 바로잡기
망원동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 같은 마포구의 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 두고 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 학습 순서를 조정했다. 이 학생은 귀가 후 문제를 빨리 풀려는 습관 때문에 음함수의 구조를 확인하기 전에 미분부터 시작했다.
y도 x에 따라 변한다는 사실을 놓친 풀이
학생은 다음 원의 방정식에서 점 \(\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)\)에서의 접선 기울기를 구하는 문제를 풀었다.
\(x^2+y^2=1\)
풀이 흔적은 다음과 같았다.
\(2x+2y=0\)
\(y'=-\frac{x}{y}\)
이 식은 오답이다. \(x\)에 대해 미분할 때 \(y\)는 상수가 아니라 \(x\)에 따라 변하는 함수이므로, 연쇄법칙에 따라
\[ \frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}=2yy' \]
가 되어야 한다. 따라서 정확한 미분식은
\[ 2x+2yy'=0 \]
이고, \(2yy'=-2x\)로 정리하면
\[ y'=-\frac{x}{y} \]
이다. 최종식은 우연히 같아졌지만, 중간 미분식에서 \(y'\)를 빠뜨린 것은 다른 음함수 문제로 확장할 때 잘못된 결과를 만드는 오류다.
오류 표시부터 대입 검산까지
- 틀린 줄 표시: \(2x+2y=0\)에서 \(y^2\)를 미분하며 \(y'\)를 누락한 부분에 표시한다.
- 변수 관계 확인: \(y=y(x)\)이므로 \(y^2\)는 합성함수이며, \(x\)가 변하면 \(y\)도 변한다.
- 식 수정: \(2x+2y\color{#000000}{y'}=0\)으로 교체한다.
- 점 대입: \[ y'=-\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12}=-\sqrt3 \]
- 접선 확인: \[ y-\frac12=-\sqrt3\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right) \]
학생은 수정한 식을 원의 그래프에 대입해 확인했다. \(x\)가 증가하는 오른쪽 위 점에서 원의 접선 기울기가 음수여야 하므로 \(-\sqrt3\)의 부호도 그래프와 일치한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 원을 반복하지 않고 다음 식으로 다시 확인했다.
\[ \frac{x+y}{1+xy}= \frac12 \]
양변을 직접 미분하면 곱셈과 합성 구조를 놓치기 쉬우므로, 먼저 식을 정리한다.
\[ x+y=\frac12(1+xy) \]
이를 미분하면
\[ 1+y'=\frac12(xy'+y) \]
이다. 점 \((0,1)\)은 원래 식을 만족하므로 대입하면
\[ 1+y'=\frac12y' \]
\[ y'=-2 \]
가 된다. 학생은 처음 후보였던 \(y'=2\)를 부호 검토에서 제거하고, 정리한 식에 다시 대입해 \(1-2=-1\), \(\frac12(-2)=-1\)임을 확인했다. 음함수 미분에서는 계산 속도보다 각 항에서 어떤 변수가 함께 변하는지를 먼저 표시하는 것이 핵심이다.