망원동고2수학과외

망원동 고2수학과외: 지수방정식의 그래프와 실근 개수, 밑 통일부터 확인하기

망원동에서는 특정 고등학교의 시험 범위를 임의로 단정하기보다, 마포구 내 통학권 참고 학교의 지필평가와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 풀이 훈련의 우선순위를 정하는 편이 적절합니다. 지수방정식에서는 계산보다 먼저 밑을 통일할 수 있는지, 지수함수의 값이 가질 수 있는 범위가 무엇인지 판단해야 합니다.

4^x를 2^x로 바꾸는 순간 실근의 범위가 정해진다

다음 방정식을 그래프와 연결해 보자.

2^2x - 5·2^x + 4 = 0

밑을 통일하면 2^2x = (2^x)²이므로

t = 2^x라 둘 때, 반드시 t > 0이다.

따라서

t² - 5t + 4 = 0
(t - 1)(t - 4) = 0

t = 1 또는 t = 4이고, 두 값 모두 t > 0을 만족한다. 그러므로

2^x = 1에서 x = 0,
2^x = 4에서 x = 2

실근은 x = 0, 2, 모두 두 개다. 그래프에서는 y = 2^2x - 5·2^x + 4가 x축과 만나는 점의 개수가 실근 개수에 해당한다. 이때 2^x를 음수로 놓는 후보는 애초에 실수 범위에서 허용되지 않는다.

2^x = -3이라고 적은 줄이 첫 번째 오류인 이유

풀이 흔적에 다음과 같은 판단이 나타날 수 있다.

“2^x = -3이므로 로그를 취해 해를 구한다.”

이 줄은 계산 기술의 문제가 아니라 범위 판단의 오류다. 밑이 2인 지수함수는 모든 실수 x에 대해 2^x > 0이므로 -3이 될 수 없다. 따라서 로그 계산을 이어 갈 후보가 존재하지 않는다.

또한 지수방정식의 그래프를 그릴 때 서로 다른 밑을 그대로 비교하면 안 된다. 예를 들어 4^x를 2^x와 비교하려면 4^x = (2^x)²로 바꾸어 같은 기준량 t = 2^x를 사용해야 한다. 답안에는 “t = 2^x > 0”을 먼저 남기고, 그다음 이차방정식의 근을 조사한다.

조건·부호·범위·공식 중 오류 유형 하나만 지정해 고치기

이 장면에서는 오류 유형을 범위로 정한다. 문제를 풀 때 식 옆에 다음 한 줄을 직접 적는다.

t = 2^x이므로 t > 0

그 뒤 t의 후보를 얻으면 각각을 확인한다.

t = 1: 양수이므로 가능
t = 4: 양수이므로 가능
t = -3: 지수값의 범위에 맞지 않으므로 제외

이렇게 하면 그래프의 교점 개수를 세기 전에 허용되지 않는 후보를 제거할 수 있다.

밑이 3으로 바뀐 풀이에서 처음 틀린 줄 찾기

다음 문제를 제시하고 부분 풀이의 첫 오류를 찾게 한다.

3^2x - 10·3^x + 9 = 0

제시된 풀이:

① t = 3^x라 두면 t > 0이다.
② t² - 10t + 9 = 0이다.
③ (t - 1)(t - 9) = 0이므로 t = 1 또는 t = 9이다.
④ 3^x = 1 또는 3^x = 9이므로 x = 0 또는 x = 3이다.

처음부터 틀린 줄은 없다. 다만 ④에서 3^x = 9를 x = 3으로 적었다면 그 줄이 오류다. 3² = 9이므로 x = 2가 맞다. 따라서 실근은 x = 0, 2이며, 두 t값이 모두 양수인지 확인한 뒤 결론을 적어야 한다.