도화동 고3수학과외에서 매개변수 미분의 후보값을 역검산한 사례
도화동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 같은 마포구의 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교 등을 통학권 참고 대상으로만 보았다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정이 다른 만큼, 이번 학습에서는 학교 정보보다 실제 풀이 기록에 나타난 미분 오류를 중심으로 점검했다.
정답 숫자보다 먼저 확인해야 할 미분 규칙
학생은 다음 매개변수 함수에서 dy/dx=0이 되는 값을 구하는 중이었다.
x=(t-2)2+1, y=(t-2)3
학생의 풀이에는 다음과 같은 오답이 적혀 있었다.
dx/dt=2(t-2), dy/dt=3(t-2)2
dy/dx={3(t-2)2}/{2(t-2)}={3(t-2)}/2
따라서 dy/dx=0이면 t=2이다.
이 결론은 틀렸다. 분수에서 (t-2)를 약분하려면 먼저 t≠2라는 조건을 붙여야 한다. 그런데 t=2에서는 dx/dt=0이므로 매개변수 미분 공식
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
의 분모가 0이 된다. 실제로 t=2를 원래 식에 대입하면
dx/dt=0, dy/dt=0
이므로 0/0이 되어 dy/dx를 계산할 수 없다. 따라서 약분한 식의 후보값 t=2를 그대로 정답에 포함하면 안 된다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 복원한 재풀이
학생은 처음에 오답 숫자만 옮겨 적었지만, 재풀이에서는 실패 지점을 문자로 표시했다.
- [공식 확인] 매개변수 미분에서는 dy/dt만 보는 것이 아니라 dx/dt의 0 여부도 확인한다.
- [조건 누락] (t-2)를 약분한 순간 t≠2라는 조건이 생긴다.
- [식 수정] t≠2일 때만 dy/dx=3(t-2)/2이다.
- [후보 검산] t=2를 원래 미분식에 대입하면 0/0이므로 제외한다.
결국 t≠2에서 3(t-2)/2=0을 풀면 t=2가 다시 나오지만, 이 값은 분모 조건에 위배된다. 따라서 dy/dx가 0이 되는 매개변수 값은 없다고 결론 내리는 것이 정확하다.
그래프 관점에서도 t=2일 때 점은 (1,0)이고, 매개변수 속도벡터가 (0,0)이므로 일반적인 기울기 공식으로 수평 접선을 판정할 수 없다. 계산 결과와 조건을 함께 확인해야 후보값을 잘못 포함하지 않는다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 원문제를 반복하지 않고 다음 함수로 다시 확인했다.
x=t2+2t+4, y=(t+1)3
이번에는 dy/dx=1인 값을 구한다.
dx/dt=2(t+1), dy/dt=3(t+1)2
t≠-1일 때
dy/dx={3(t+1)2}/{2(t+1)}={3(t+1)}/2
따라서 3(t+1)/2=1에서 t=-1/3을 얻는다. 이 값은 dx/dt=2(-1/3+1)=4/3으로 0이 아니므로 유효하다. 반면 약분 과정에서 제외한 t=-1은 dx/dt=0이므로 후보 정답으로 넣지 않는다.
학생은 두 문제의 계산값만 비교하지 않고, 약분 전 분모 확인 → 후보값 원식 대입 → dx/dt=0 여부 판정의 순서로 검산하며 매개변수 미분의 조건을 정리했다.