도화동고2수학과외

도화동 고2수학과외: 공통 지수항을 묶는 한 줄에서 지수방정식의 답이 갈린다

도화동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 마포구 내 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교·홍익대학교사범대학부속여자고등학교·경성고등학교 등을 통학권 참고 자료로만 볼 수 있다. 학교별 주간 과제와 내신 일정이 다른 만큼, 지수방정식도 정답만 적기보다 어느 계산 줄에서 판단이 끊겼는지를 확인해야 한다.

3·2^x와 2^x+1을 따로 계산한 순간

다음 식을 풀어 보자.

3·2^x + 2^x+1 = 20

풀이 중 다음과 같은 계산이 남았다.

3·2^x + 2^x+1 = 20
3·2^x + 2x + 1 = 20

이 줄이 최초 오류다. 2^x+1은 2x+1이 아니라 지수법칙에 따라 2^x·2로 바꾸어야 한다. 지수방정식에서 두 항의 문자 부분이 같아지는지를 먼저 살펴야 한다.

오류 기호를 표시하고 한 단계만 되돌리기

오류가 발생한 기호에 표시한 뒤 식을 다음처럼 고친다.

3·2^x + 2^x+1 = 20
3·2^x + 2·2^x = 20
(3+2)·2^x = 20
5·2^x = 20

따라서 2^x = 4 = 2²이므로 x=2이다. 여기서 2^x를 새로운 문자 u로 두면 3u+2u=20, u=4가 되어 같은 결과를 다시 확인할 수 있다. 밑 2는 양수이고 1이 아니므로 지수함수는 일대일이며, 2^x=2²에서 x=2가 유일하다.

범위가 붙은 식에서 해와 조건의 교집합 확인하기

같은 판단을 다음 문제에 적용한다.

5·2^x + 2^x+2 = 36,　1<x≤3

2^x+2=4·2^x이므로

5·2^x + 4·2^x = 36
9·2^x = 36
2^x = 4 = 2²

방정식에서 얻은 해는 x=2이고, 제한 범위 1<x≤3에도 포함된다. 따라서 최종 답은 x=2이다. 이때 답안에는 공통항을 묶은 줄과 범위 확인을 모두 남겨야 한다.

새 조건에서 학생이 먼저 2^x+2=4·2^x를 적고, 마지막에 x=2와 1<x≤3의 교집합을 스스로 확인한다면 공통 지수항 인수분해가 계산 줄에서 유지되는지 확인할 수 있다.