당인동 생활 리듬에 맞춘 역함수 미분 점검
당인동에서 통학하는 학생은 학교와 주거지의 거리에 따라 풀이 시간이 달라질 수 있다. 이번에는 계산을 서두르기보다 원함수의 입력과 역함수의 입력이 어떻게 바뀌는지 확인했다. 마포구 통학권의 상암고등학교, 서울여자고등학교, 광성고등학교 등 어느 학교 학생에게도 적용할 수 있는 고3 수준의 사례다.
범위를 먼저 고정한 함수
함수를
f(x)=((x+1)3)/(x+2), x≥0
으로 두고, 역함수를 f−1이라 하자. 범위를 x≥0으로 제한해야 그래프의 한 부분에서 함수가 일대일 대응이 된다. x=1일 때
f(1)=8/3
이다. 따라서 역함수에서는 입력값이 8/3이고, 다음 관계를 사용한다.
(f−1)′(f(x))=1/f′(x)
학생의 오답과 수정
학생의 오답: (f−1)′(1)=1/f′(1)=9/28
이 식은 틀렸다. 원함수에서 x=1일 때의 출력은 8/3이므로 역함수의 입력은 1이 아니라 8/3이다. 학생은 계산 흔적 옆에 원함수 도함수를 대입했지만, 두 함수의 입력과 출력이 뒤바뀐다는 조건을 확인하지 않았다.
먼저 틀린 줄에 표시를 하고, 범위와 대응 관계를 적었다.
x=1 → f(x)=8/3 → f−1(8/3)=1
이제 곱·몫 구조를 유지해 미분하면
f′(x)=((x+1)2(2x+5))/(x+2)2
이므로
f′(1)=28/9
이다. 따라서 정확한 결과는
(f−1)′(8/3)=1/(28/9)=9/28
이다. 역함수 그래프는 원함수 그래프를 y=x에 대칭시킨 것이므로, 점 (1, 8/3)이 (8/3, 1)로 옮겨지는지 그래프로 확인했다. 접선 기울기도 28/9와 9/28의 역수 관계가 되어 계산과 일치한다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 함수와 숫자를 바꾸어
g(x)=((x+2)3)/(2x+3), x≥0
으로 검증했다. x=1에서 g(1)=27/5이고,
g′(x)=((x+2)2(4x+5))/(2x+3)2
이므로 g′(1)=81/25이다. 따라서
(g−1)′(27/5)=25/81
로 판단했다. 한 단계 더 나아가
g″(1)=126/125
도 계산하고, 역함수의 두 번째 미분 관계
(g−1)″(g(x))=−g″(x)/(g′(x))3
에 대입했다. 입력값을 1로 착각하지 않고 g(1)=27/5로 바꾸는 과정을 다시 재현하면서, 함수식이 달라져도 원함수의 출력이 역함수의 입력이 된다는 원칙을 확인했다.