역수인 밑을 지수의 부호로 바꾸는 순간
당인동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 마포구 내 상암고등학교·서울여자고등학교·광성고등학교 등을 통학권 참고 학교로 볼 수 있다. 학교와 주거지 사이의 이동 시간에 따라 풀이를 이어 갈 수 있는 시간이 달라질 수 있지만, 이 단원에서는 한 줄의 변환을 정확히 기록하는 것이 먼저다.
풀이 기록에서 다음 식이 발견되었다.
\((\frac13)^x=3^{x-2}\)
학생은 왼쪽 밑이 \(\frac13\)이라는 사실은 보았지만, 이를 \(3\)의 거듭제곱으로 바꾸는 과정에서 왼쪽 지수를 그대로 \(x\)로 두었다. 그러나
\[ \frac13=3^{-1}\quad\Rightarrow\quad \left(\frac13\right)^x=(3^{-1})^x=3^{-x} \]
이므로 원식은
\[ 3^{-x}=3^{x-2} \]
가 되어야 한다. 밑 \(3\)은 \(0보다 크고 1이 아니므로 지수를 비교할 수 있다.
\[ -x=x-2,\qquad 2x=2,\qquad x=1 \]
따라서 학생의 풀이에서 빠진 것은 단순 계산이 아니라, 역수인 밑을 바꿀 때 지수의 부호도 함께 바꾸는 연결이다.
치환한 뒤 반드시 원래 식으로 돌아오기
새 문제를 풀 때는 바로 직전 풀이의 모양을 복사하지 않고, 먼저 밑을 하나로 통일한다. 예를 들어
\[ \left(\frac15\right)^{x+1}=5^{2x-8} \]
에서는
\[ \left(\frac15\right)^{x+1} =(5^{-1})^{x+1} =5^{-(x+1)} \]
로 바꾼다. 따라서
\[ -(x+1)=2x-8 \] \[ -x-1=2x-8,\qquad 3x=7,\qquad x=\frac73 \]
이다. 여기서 규칙을 역으로 적용해 확인하면
\[ 5^{-(x+1)}=\left(5^{-1}\right)^{x+1} =\left(\frac15\right)^{x+1} \]
이므로 변환 전의 원래 식이 복원된다. 이 역검산을 답안에 한 줄 남기면, 밑만 바꾼 것인지 지수의 부호까지 반영했는지 확인할 수 있다.
계수와 부호가 달라진 식에서의 확인
다음 식으로 풀이를 마무리한다.
\[ 2\left(\frac14\right)^{x-1}=2\cdot4^{-3x+5} \]
양변의 공통 계수 \(2\)를 먼저 없애면
\[ \left(\frac14\right)^{x-1}=4^{-3x+5} \]
이고, \(\frac14=4^{-1}\)이므로
\[ 4^{-(x-1)}=4^{-3x+5} \]
이다. 지수를 비교하면
\[ -x+1=-3x+5,\qquad 2x=4,\qquad x=2 \]
를 얻는다. 마지막으로 \(x=2\)를 원식에 대입하면 양변 모두 \(2\cdot\frac14=\frac12\)가 되어 해가 확인된다.
이처럼 밑이 역수로 제시되었을 때는 “\(\frac1a=a^{-1}\)”를 먼저 적고, 거듭제곱 전체에 적용한 뒤, 변환을 거꾸로 되돌려 원식이 복원되는지 확인해야 한다. 교사의 질문이 없어도 이 세 문장이 풀이에 남아 있는지가 새로운 계수와 지수에서도 같은 판단을 유지했는지 보여준다.