공덕동 통학 뒤 자습시간에 완성하는 역함수 미분 점검
공덕동에서 마포구 통학권의 상암고등학교, 서울여자고등학교, 광성고등학교 등으로 이동한 뒤에는 풀이를 다시 정리할 시간이 짧아질 수 있다. 이 학생은 답만 고쳐 적는 대신, 역함수의 접점과 미분 규칙을 화살표로 연결하는 연습을 진행했다.
접점의 좌표를 바꾸지 않아 생긴 오답
함수 \(f(x)=x^3+x\)와 역함수 \(g=f^{-1}\)가 있을 때 \(f(1)=2\)이므로 원래 함수의 점은 \((1,2)\), 역함수의 대응점은 반드시 \((2,1)\)이다.
f'(x)=3x^2+1
g'(1)=\frac{1}{f'(1)}=\frac14
위 계산은 오답이다. 역함수의 미분 공식은 \(g'(f(a))=\frac1{f'(a)}\)이므로 \(a=1\)일 때 구해야 하는 값은 \(g'(2)\)이다. \(f'(1)=4\)이므로 정확한 결론은
g(2)=1,\qquad g'(2)=\frac1{f'(1)}=\frac14
이다. 학생은 공식 자체를 몰랐다기보다 원래 함수의 입력 \(x=1\)과 역함수의 입력 \(x=2\)를 같은 위치에 적은 것이 문제였다.
잘못 고른 미분 규칙을 분리해서 확인하기
풀이 중 \(y=f(g(x))\)를 미분하면서 다음과 같이 쓴 줄도 표시했다.
\((f(g(x)))'=f'(g(x))\)
이 식은 오답이다. 합성함수에서는 바깥 함수의 도함수 뒤에 안쪽 함수의 도함수를 곱해야 한다.
(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)
반대로 곱의 미분은 \(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\), 몫의 미분은 \(\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\)이므로, 학생은 문제 옆에 ‘합성: 안쪽 미분’, ‘곱: 두 항’, ‘몫: 분모 제곱’이라고 구분해 적었다.
틀린 줄에서 역검산까지 이어 가기
- 틀린 줄에 밑줄을 긋고 \(g'(1)\)이 아니라 \(g'(2)\)를 구해야 하는지 확인한다.
- \(f(1)=2\)를 화살표로 \(1\rightarrow2\), 역함수에서는 \(2\rightarrow1\)로 바꿔 적는다.
- \(f'(1)=4\)를 계산한 뒤 역수 \(\frac14\)를 취한다.
- 직접 미분 관계식 \(f(g(x))=x\)를 사용해 \(f'(g(x))g'(x)=1\)인지 대입한다.
\(x=2\)를 대입하면 \(g(2)=1\)이므로 \(f'(1)g'(2)=4\cdot\frac14=1\)이다. 이 역검산으로 접점의 좌표를 바꾸지 않은 오류와 합성 미분에서 빠뜨린 인자를 함께 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 \(h(x)=x^3+2x-1\)을 사용한다. \(h'(x)=3x^2+2>0\)이므로 전체 실수에서 일대일이고 역함수가 존재한다. \(h(1)=2\)이므로 역함수 \(k=h^{-1}\)의 대응점은 \((2,1)\)이다.
h'(1)=5,\qquad k(2)=1,\qquad k'(2)=\frac1{h'(1)}=\frac15
학생은 먼저 \(1\rightarrow2\), 역함수에서 \(2\rightarrow1\)을 다시 표시한 뒤 \(h'(1)k'(2)=5\cdot\frac15=1\)로 검산했다. 함수식과 접점을 바꾼 새 문제에서도 좌표 교환, 역함수 미분 공식, 합성 관계를 첫 줄부터 유지했는지가 확인되었다.