공덕동고2수학과외

공덕동고2수학과외: 역수인 밑을 지수로 바꾸는 한 줄

공덕동에서 학교와 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에는 풀이를 처음부터 다시 쓰기보다, 오답이 생긴 계산 줄을 정확히 고치는 연습이 필요하다. 특히 지수방정식에서는 밑이 역수 관계일 때 지수의 부호가 바뀐다는 판단이 핵심이다.

왜 (1/3)^x에서 지수가 바뀌어야 할까

다음 식을 살펴보자.

(1/3)^x = 3^x-2

풀이 중 왼쪽을 그대로 3^x로 적는다면 밑의 역수 관계를 반대로 처리한 것이다. 역수의 성질에 따라

(1/3)^x = (3^-1)^x = 3^-x

이므로 방정식은

3^-x = 3^x-2

가 된다. 밑이 같은 지수끼리는 지수를 비교할 수 있으므로

-x = x-2
2x=2
x=1

이다. 실제 오답표에서 왼쪽 지수를 -x로 바꾸지 않았다면, 계산 속도보다 먼저 기호의 뜻을 확인해야 한다. 1/3은 3의 역수이고, 역수는 지수를 음수로 바꾸어 3^-1로 표현한다.

오답 줄보다 먼저 정답 식을 복원하기

학생에게는 틀린 줄을 길게 지우게 하기보다 다음 한 줄을 직접 완성하게 한다.

(1/3)^x = (3^-1)^x = 3^□

빈칸에는 -x가 들어간다. 이어서 “밑의 역수는 지수의 부호를 어떻게 바꾸는가?”를 말로 설명한 뒤, 그 설명과 일치하는 식만 남긴다. 이 과정을 거치면 답을 외워 고치는 것이 아니라 (a^-1)^x=a^-x라는 관계를 계산에 적용하게 된다.

분수와 정수가 섞인 식에서 다시 확인하기

새로운 조건으로 다음 방정식을 제시한다.

(1/5)^x = 5^2x-3

먼저 밑을 통일하면

(1/5)^x = 5^-x

이므로

5^-x = 5^2x-3

이다. 따라서

-x=2x-3
3x=3
x=1

로 결정된다. 여기서 확인할 것은 숫자가 아니라 절차다. 분수 밑을 보았을 때 역수인지 판단하고, 정수 밑으로 바꾸면서 지수 부호를 바꾼 뒤, 같은 밑의 지수끼리 비교했는지를 풀이 줄에서 확인한다. 마지막으로 (1/5)¹=1/5, 5^2-3=5^-1=1/5이므로 원식에도 성립한다.