동작구중2수학과외, 닮음비와 넓이비를 따로 기록하는 연습
닮은 도형 문제에서 길이의 비를 구한 뒤 넓이까지 묻는 순간, 학생의 풀이가 갑자기 흔들리는 경우가 있다. 닮음비를 k라고 정해 놓고도 넓이비를 k로 쓰거나, 대응변의 순서를 바꾸면서 서로 다른 비례식을 적는 식이다. 동작구중2수학과외에서는 문제 수를 무작정 늘리기보다 한 문제 안에서 대응점, 길이, 넓이의 관계를 분리해 기록하는 데 초점을 둔다.
닮음 문제에서 실제로 멈추는 지점
예를 들어 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 닮음이고 A↔D, B↔E, C↔F로 대응한다고 하자. AB=6, DE=9라면 작은 삼각형에서 큰 삼각형으로 가는 닮음비는 6:9=2:3이다. 이때 한 변의 길이를 구할 때는 2:3을 사용하지만, 넓이비는 2²:3², 즉 4:9가 된다.
그러나 학생은 그림에 적힌 점의 위치를 먼저 확인하지 않고 눈에 보이는 왼쪽 변끼리 비를 세운다. 풀이 첫 줄에 AB:DF를 적거나, 한 문제 안에서 2:3과 3:2를 번갈아 사용한다. 넓이를 묻는 마지막 단계에서는 앞에서 구한 닮음비를 그대로 넓이비에 대입해 오답을 낸다.
“AB와 DE가 대응하고, 작은 도형에서 큰 도형으로 가는 비는 2:3이다. 따라서 넓이비는 4:9이다.”
이 문장을 답안에 남기지 않은 채 머릿속으로만 처리하는 것이 문제를 키운다. 교과서 예제를 다시 펼쳤을 때는 그림과 풀이가 익숙해 맞히지만, 숫자나 도형의 방향이 바뀌면 대응 관계를 새로 정하지 못한다.
오답 원인을 대응 오류와 비의 종류로 나누기
현재 중2에서는 닮음 조건을 말하는 것과 실제 대응변을 정해 비례식을 만드는 일이 분리되어 나타날 수 있다. 특히 중3 진입 전 압축복습이 겹치면 학생은 여러 문제를 빨리 끝내려 하면서 그림의 기호를 생략한다. 이때 오답은 단순 계산 실수가 아니다.
- 대응 오류: A에 대응하는 점을 D가 아닌 다른 점으로 정함
- 비의 방향 오류: 작은 도형:큰 도형을 정한 뒤 중간에 큰 도형:작은 도형으로 바꿈
- 개념 오류: 닮음비 k를 넓이비에도 그대로 적용함
- 표현 누락: 어떤 두 도형의 비인지 답안에 밝히지 않음
중1의 계산 전체를 다시 시작할 필요는 없다. 비례식에서 분수의 양변을 곱하는 과정이 막힐 때만 해당 계산 한 줄을 짧게 확인하고, 곧바로 현재 닮음 문제의 대응 관계로 돌아온다.
한 문제를 세 줄의 기록으로 바꾸는 훈련
첫 줄에는 대응점을 같은 순서로 적는다. 예를 들어 A↔D, B↔E, C↔F라고 쓴다. 둘째 줄에는 대응변을 같은 방향으로 적는다. AB↔DE, BC↔EF, CA↔FD처럼 도형 이름의 순서를 유지한다. 셋째 줄에는 닮음비를 문장으로 고정한다.
“ABC에서 DEF로의 닮음비는 2:3”처럼 방향을 먼저 선언하면 이후 비례식도 같은 방향으로 세울 수 있다. AB=6, DE=9, BC=8이라면 6:9=8:EF로 두고 EF=12를 구한다. 넓이를 묻는다면 길이비 2:3을 다시 계산하지 않고 넓이비를 4:9로 바꾸어 사용한다.
훈련 자료는 교과서 예제 한 문제로 제한한다. 대신 학생은 답을 맞힌 뒤에도 그림의 점 순서를 가리고 다시 적는다. 도형이 회전되어 있거나 한쪽이 아래에 그려져 있어도 위치가 아니라 대응 기호를 기준으로 변을 찾아야 한다. 피곤한 날에는 같은 난도와 분량을 강요하지 않고, 대응점 세 줄과 닮음비 방향을 정확히 쓰는 데서 마친다.
동작구 학생의 생활 리듬을 반영한 적용
동작구에는 강남중학교, 강현중학교, 국사봉중학교, 남성중학교, 대방중학교, 동양중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들이 모든 학생의 동일한 통학권을 뜻하는 것은 아니다. 노량진·대방동·동작동·본동·사당동·상도동처럼 생활권이 다르고, 동작상떼빌아파트나 동작쌍떼빌아파트 등 주거지에서 학교와 학원까지 이동하는 시간도 학생마다 다르다.
따라서 귀가가 늦은 날에는 긴 문제 세트를 배정하지 않는다. 짧은 도형 하나를 보고 대응점과 대응변을 기록하게 한 뒤, 다음 학습일에 새 숫자의 문제로 독립 확인한다. 중요한 것은 공부한 시간의 양보다 피곤한 상태에서도 첫 접근을 올바르게 시작할 수 있는지다.
다음 날의 독립 검증
다음 문제에서는 도형의 위치와 수치를 바꾼다. 작은 삼각형과 큰 삼각형의 대응점이 P↔X, Q↔Y, R↔Z이고 PQ=10, XY=15라면 닮음비는 2:3이다. PR=14일 때 XZ는 21이다. 넓이비를 묻는다면 작은 도형:큰 도형은 4:9라고 써야 한다.
검증에서는 이전 문제의 답을 기억해 맞히는 것을 인정하지 않는다. 학생이 P↔X, Q↔Y, R↔Z를 먼저 적었는지, 대응변을 같은 순서로 유지했는지, 길이비와 넓이비를 구분했는지를 본다. 시간 제한을 짧게 두고 도형을 회전해 제시했을 때도 첫 줄의 대응 관계가 정확하면 훈련이 실제로 전이된 것으로 판단한다.
과외에서 확인하는 설명
수업 마무리에는 정답만 말하게 하지 않는다. 학생이 “PQ와 XY가 대응하고, PQR에서 XYZ로 가는 길이비가 2:3이므로 넓이비는 4:9”라고 설명하게 한다. 이어 닮음비의 방향을 반대로 정했을 때 넓이비가 9:4로 바뀐다는 점도 확인한다. 어느 도형을 기준으로 말하는지 설명할 수 있어야 서술형 답안에서도 비의 방향을 잃지 않는다.
자주 묻는 점
- 닮음비가 2:3이면 넓이비도 2:3인가요? 아니다. 넓이비는 2²:3²=4:9이다.
- 그림에서 가까이 있는 변끼리 대응시키면 되나요? 아니다. 닮음 기호와 대응점을 먼저 확인해야 한다.
- 닮음비 방향을 반대로 써도 되나요? 가능하지만 모든 대응변과 넓이비의 방향을 끝까지 일관되게 유지해야 한다.
- 교과서 문제를 다시 맞히면 충분한가요? 아니다. 도형 위치와 숫자를 바꾼 새 문제에서 대응점과 비를 처음부터 정해야 한다.
동작구중2수학과외의 닮음 학습은 문제 수보다 기록 순서를 점검하는 데서 출발한다. 대응점을 먼저 정하고, 대응변의 방향을 고정한 뒤, 길이비와 넓이비를 k와 k²로 분리해 쓰면 도형이 바뀌어도 풀이의 기준을 유지할 수 있다.