동작구중1수학과외, 전개도에서 이웃한 면과 마주 보는 면을 구분하는 연습
“이 면이 밑면이면 옆면은 이쪽이죠?”
전개도 문제를 풀 때 한 중1 학생이 그림을 오래 바라보다가 맞닿는 면과 서로 마주 보는 면을 반대로 말하는 장면이 있다. 면의 모양과 숫자는 기억하지만, 전개도를 실제 입체도형으로 접었을 때 어떤 면이 연결되는지 추적하지 못하는 것이다. 특히 교과서 예제와 숫자나 배치가 달라지면 눈에 익은 그림을 찾으려 하면서 풀이가 멈춘다.
전개도를 눈으로만 기억할 때 생기는 오류
예를 들어 정육면체 전개도에 1부터 6까지 면 번호가 적혀 있고, 1번 면의 마주 보는 면을 묻는다고 하자. 학생이 전개도를 접어 보지 않고 “1번 바로 옆에 붙은 2번이 반대편”이라고 답하면, 이웃한 면과 마주 보는 면을 혼동한 것이다. 실제로 1번과 2번이 변을 공유한다면 두 면은 이웃한 면이지 마주 보는 면이 아니다.
전개도에서는 평면에 나란히 놓인 위치와 입체로 접은 뒤의 위치가 다르다. 한 면을 기준으로 다른 면이 어느 방향으로 접히는지 확인해야 하므로, 그림 전체를 한 번에 외우는 방식은 배치가 바뀐 문제에 약하다.
번호를 붙여 접히는 과정을 기록하기
수정할 때는 문제를 여러 장 풀기보다 교과서 예제 한 문제를 골라 면마다 번호를 붙인다. 이미 번호가 있다면 그대로 사용하고, 없다면 기준 면을 1번으로 정한다. 그다음 1번 면과 변을 공유하는 면을 선으로 연결해 이웃 관계를 표시한다.
- 기준 면과 변을 공유하는 면에 이웃 표시를 한다.
- 기준 면에서 한 번 접히는 면과 두 번 접히는 면을 구분한다.
- 입체로 접었을 때 서로 닿지 않는 면을 마주 보는 후보로 남긴다.
- 면 번호를 답안 옆에 적어 “1번과 2번은 이웃, 1번과 5번은 마주 봄”처럼 문장으로 확인한다.
예를 들어 십자 모양 전개도에서 가운데 면을 1번, 위쪽 면을 2번, 오른쪽 면을 3번, 아래쪽 면을 4번, 왼쪽 면을 5번, 바깥쪽에 연결된 면을 6번이라고 하자. 가운데 1번을 기준으로 2·3·4·5는 모두 이웃한 면이다. 6번은 어느 방향으로 접히는지 따로 추적해야 하므로, 단순히 전개도에서 멀리 떨어졌다는 이유만으로 마주 보는 면이라고 결정해서는 안 된다.
한 중1 학생의 풀이를 바꾸는 순서
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학교 숙제를 시작할 때 길이와 각 조건을 그림에 표시하지 않고 머릿속으로만 기억하는 습관이 있었다. 전개도에서도 면 번호를 적지 않은 채 접힌 모양을 상상했고, 첫 문제의 답을 맞히면 바로 다음 문제로 넘어갔다. 주말에 밀린 문제를 한꺼번에 처리하면서 틀린 이유를 확인하지 않아 같은 유형의 오류가 반복됐다.
이때 복습 목표를 ‘전개도 문제를 많이 풀기’로 두지 않고, ‘면 번호를 붙여 이웃 관계와 마주 보는 관계를 설명하기’로 좁힌다. 한 문제를 풀 때에는 먼저 기준 면을 정하고, 접히는 방향을 화살표로 표시한다. 답을 고른 뒤에는 전개도 위의 위치가 아니라 접은 뒤의 관계를 근거로 짧게 설명하게 한다.
“3번은 1번과 변을 공유하므로 이웃한 면이다. 5번은 접었을 때 1번과 마주 보므로 정답은 5번이다.”
이 문장을 쓰면 맞힌 답이라도 근거 없이 찍은 것인지 확인할 수 있다. 답만 맞고 설명이 틀렸다면 전개도 관계를 이해한 것으로 보지 않고, 해당 면에 번호와 연결선을 다시 표시한다.
다음 날에는 배치를 바꿔 확인한다
복습 종료 여부를 같은 문제를 다시 맞힌 횟수로 판단하지 않는다. 다음 날에는 숫자만 바꾼 전개도를 제시하고, 면의 배치도 일부 바꾼다. 처음 문제에서 가운데 있던 면이 옆으로 이동하거나, 바깥쪽 면이 반대 방향에 놓여도 기준 면을 새로 정하는지 확인한다.
조건을 바꾼 문제에서는 “2번과 이웃한 면은 몇 개인가”처럼 질문을 바꾸거나, “3번과 마주 보는 면에 색칠하라”처럼 답의 표현도 달리한다. 학생이 다시 그림을 외우려 하면 풀이를 멈추고 각 면에 번호를 붙인 뒤 접히는 선을 추적하게 한다. 시간 제한을 짧게 두더라도 성급히 답을 고르지 않고, 번호 표시와 근거 문장을 남기는지가 핵심이다.
동작구에는 강남중학교, 강현중학교, 국사봉중학교, 남성중학교, 대방중학교, 동양중학교 등이 있으며, 노량진·대방동·동작동·본동·사당동·상도동처럼 생활권에 따라 학교와 주거지 사이의 이동 시간이 다를 수 있다. 동작상떼빌아파트나 동작쌍떼빌아파트처럼 주거지 위치가 달라지면 평일 복습 가능 시간도 달라지므로, 주말에 문제를 몰아서 처리하기보다 실제 생활 리듬에 맞춰 다음 날 재풀이 시간을 확보하는 편이 전개도 관계를 오래 유지하는 데 도움이 된다.
중2 선행을 시작하기 전에는 전개도 문제를 몇 개 풀었는지가 아니라, 새로운 배치와 조건에서도 면 번호를 정하고 이웃한 면과 마주 보는 면을 설명할 수 있는지를 기준으로 중1 현행의 미완료 여부를 판단해야 한다.