동작구고3수학과외

곱의 구조를 먼저 읽는 동작구 고3 수학과외 사례

노량진과 대방동처럼 학교와 주거지 사이의 이동 시간이 다른 생활권에서는 같은 고3이라도 문제를 풀 수 있는 시간이 달라진다. 동작고등학교, 성남고등학교, 수도여자고등학교 등 동작구의 일반고 학생들도 제한된 시간에 풀이 과정을 점검하려면 계산보다 미분 구조를 먼저 판단해야 한다.

도함수끼리 곱한 식이 틀린 이유

학생은 다음 함수를 보고 곧바로 곱의 미분을 적용했다.

f(x)=x²e^x

학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

(f(x))'=(x²)'(e^x)'=2x·e^x

이 식은 틀린 오답이다. 곱의 미분법에서는 두 함수의 도함수끼리 곱하는 것이 아니라, 첫 번째 함수의 도함수에 두 번째 함수를 곱한 항과 첫 번째 함수를 두 번째 함수의 도함수에 곱한 항을 더해야 한다.

따라서

(x²e^x)'=2xe^x+x²e^x=e^x(x²+2x)

이다. 예를 들어 x=1을 대입하면 올바른 도함수의 값은 3e이고, 학생의 식은 2e이므로 두 식이 일치하지 않는다.

풀이 순서를 다시 고정한 과정

• 틀린 줄 표시: (fg)'=f'g'에 밑줄을 긋는다.
• 조건과 변수 관계 확인: f와 g가 곱셈으로 연결되어 있으므로 합의 형태로 미분해야 함을 확인한다.
• 식 수정: (fg)'=f'g+fg'로 바꾼다.
• 원식 대조: f=x², g=e^x를 각각 대입해 2xe^x+x²e^x를 얻는다.
• 검산: x=1을 대입해 원래 오답 2e와 수정된 값 3e가 다른지 확인한다.

이후 학생은 문제를 보자마자 공식을 쓰지 않고, 먼저 합·곱·몫·합성 중 어떤 구조인지 표시했다. 곱은 두 항의 합으로, 몫은 분모의 제곱을 포함한 식으로, 합성함수는 바깥 함수의 도함수와 안쪽 함수의 도함수를 연결하도록 구분했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 예제를 반복하지 않고 다음 함수를 새로 제시했다.

h(x)=\dfrac{(x+1)\sin x}{x²+1}

학생은 먼저 분자를 곱으로 분류했다.

u(x)=(x+1)\sin x

그러면

u'(x)=\sin x+(x+1)\cos x

이고, 몫의 미분법에 따라

h'(x)=\dfrac{[\sin x+(x+1)\cos x](x²+1)-2x(x+1)\sin x}{(x²+1)²}

이다. 이때 곱 부분을 다시 도함수끼리 곱하면 안 되며, x=0을 대입하면 h'(0)=1로 계산되어 수정된 식의 구조도 확인할 수 있다.