동작구고2수학과외

4를 2²로 바꾸지 않고 지수를 비교한 순간

동작구 고2수학과외에서는 노량진·대방동처럼 귀가 시간과 학교 프린트 확인 시간이 서로 다른 학생의 풀이 리듬도 구분하지만, 지수방정식에서는 생활권보다 먼저 식의 밑과 지수의 관계를 확인해야 한다.

답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

4^x = 2^x+3 → x = x+3

이 변형은 밑이 같아졌다고 판단한 뒤에만 가능한 지수 비교를, 밑을 확인하지 않은 채 적용한 것이다. 왼쪽 밑은 4이고 오른쪽 밑은 2이므로 곧바로 지수만 비교할 수 없다.

밑을 먼저 2로 통일해야 하는 이유

4는 2²이므로 식을 다음처럼 바꾼다.

4^x = (2²)^x = 2^2x

따라서

2^2x = 2^x+3

이제 양변의 밑이 2로 같고, 2는 양수이며 1이 아니므로 지수함수의 일대일 관계를 사용할 수 있다.

2x = x+3

x=3

검산하면 4³=64이고 2³⁺³=64이므로 해가 성립한다. 밑을 통일하지 않은 상태에서 x=x+3으로 놓으면 해가 없다는 결론이 나오지만, 이는 원래 방정식의 해를 계산한 결과가 아니라 잘못된 지수 비교에서 생긴 오류다.

풀이 첫 줄에 남길 두 가지 표시

비슷한 식을 볼 때 학생이 바로 지수에 손대지 않도록, 첫 줄에 다음을 적게 했다.

① 밑의 관계 확인: 4=2²

② 통일할 밑 결정: 2

그 표시를 적용한 미니문제는

8^x = 2^x+6

이다. 8=2³이므로

2^3x=2^x+6 → 3x=x+6 → x=3

처럼 밑의 변환을 답안에 남겨야 한다. 8과 2를 그대로 둔 채 x=x+6으로 쓰지 않는지가 수정된 행동의 기준이다.

계수가 바뀐 식에서 다시 확인한 밑 통일

조건을 바꾼 검증 문제로는 다음 식을 제시했다.

9^x = 3^x+4

이번에는 9=3²이므로

3^2x=3^x+4 → 2x=x+4 → x=4

마지막으로 9⁴=3⁸, 3⁴⁺⁴=3⁸을 대조한다. 밑이 달라졌을 때 지수를 비교하지 않고, 밑을 같은 양의 밑으로 바꾼 뒤 지수의 관계를 세우는 순서가 유지되어야 한다.