흑석동고3수학과외

흑석동 통학 리듬에 맞춘 합성함수 미분 교정

흑석동에서 흑석역이나 주거지에서 동작구 내 성남고등학교, 수도여자고등학교, 동작고등학교 등으로 이동하는 학생은 통학 거리에 따라 자습 시간이 달라질 수 있다. 이 학생은 짧은 시간에 여러 문제를 풀 때 계산보다 함수 안쪽의 구조와 정의역 조건을 놓치는 일이 반복되었다.

몫 안의 식을 제곱한 함수에서 생긴 부호 오류

학생이 다음 함수를 미분하면서 작성한 줄은 다음과 같았다.

y=u², u=(x²+1)/(x-2)
u'={2x(x-2)-(x²+1)}/{(x-2)²}={x²-4x+1}/{(x-2)²}

마지막 식은 오답이다. 분자에서 −(x²+1)을 전개하면 −x²−1이므로

2x(x-2)-(x²+1)=2x²-4x-x²-1=x²-4x-1

이 되어야 한다. 따라서 합성함수의 미분법과 몫의 미분법을 함께 적용하면

y'=2u·u'=2·(x²+1)/(x-2)·(x²-4x-1)/(x-2)²

즉,

y'={2(x²+1)(x²-4x-1)}/{(x-2)³}

이다. x=2에서는 원래 함수가 정의되지 않으므로 도함수의 부호를 판단할 때도 x=2를 후보 경계로 포함해야 한다. 학생은 이전 문제의 경계를 그대로 옮겼지만, 수직선에 x=2와 분자의 근을 새로 표시해야 했다.

틀린 줄을 찾아 조건과 함께 검산하기

• 부호가 바뀐 줄에 표시하고, 괄호 앞의 마이너스가 안쪽 모든 항에 적용되는지 확인한다.
• 분모 조건 x≠2를 먼저 적어 원래 함수의 정의역을 고정한다.
• 분자 x²-4x-1=0의 두 근 x=2±√5를 구해 수직선에 표시한다.
• 구간별 대표값을 대입해 도함수의 부호를 확인한다. 예를 들어 x=0에서는 y'가 양수이고, x=2.5에서는 분자와 분모의 부호를 따로 확인해야 한다.
• 마지막으로 원식에 x=0을 대입해 얻은 변화율과 미분식에 x=0을 대입한 값이 일치하는지 역검산한다.

이 과정을 거치면 단순히 이전 답의 경계를 복사하는 습관 대신, 함수식이 바뀔 때 정의역과 후보값도 함께 다시 판단하게 된다.

삼중합성으로 바꾼 독립 검증

같은 원식을 반복하지 않고 다음 문제를 새로 제시했다.

y=√{1+(2x-1)³}

바깥 함수를 √t, 중간 함수를 1+v³, 안쪽 함수를 v=2x-1로 나누면 연쇄법칙을 세 번 연결해야 한다.

y'=1/{2√{1+(2x-1)³}} · 3(2x-1)² · 2

따라서

y'={3(2x-1)²}/{√{1+(2x-1)³}}

이다. 학생이 한 번만 연쇄법칙을 적용해 안쪽 미분계수 2를 빠뜨렸다면 그 식은 오답이다. x=1을 대입하면 원래 도함수는 3/√2가 되므로, 세 단계의 미분계수가 모두 반영되었는지 즉시 확인할 수 있다.