흑석동고2수학과외

흑석동고2수학과외에서는 흑석역과 주거지 사이의 이동 시간, 학교별 귀가 시각을 고려해 한 번의 풀이에서도 식의 연결이 끊기는 지점을 확인한다. 같은 동작구의 성남고등학교, 수도여자고등학교, 동작고등학교 등은 통학권 참고 자료로만 보고, 학생마다 확보 가능한 학습 시간을 구분한다.

t=2^x를 놓은 뒤에도 t>0을 유지해야 하는 이유

다음 지수방정식을 풀어 보자.

2^2x−3·2^x−4=0

2^x를 한 덩어리로 보기 위해 t=2^x로 치환하면

t²−3t−4=0
(t−4)(t+1)=0

따라서 계산상 후보는 t=4 또는 t=−1이다. 이때 풀이 흔적에 t=−1을 해로 남기는 경우가 있었다. 그러나 밑 2가 양수이고 2가 아니므로 모든 실수 x에 대해 2^x>0이다. 따라서 치환 직후부터 t>0이라는 조건이 붙으며, t=−1은 원식으로 돌아가기 전에 제외해야 한다.

남는 t=4에서 2^x=4=2²이므로 x=2이다. t의 이차방정식에서 얻은 값과 원래 치환식의 범위는 함께 확인해야 하며, 대수적으로 나온 모든 근을 그대로 x의 해로 옮길 수는 없다.

오답을 지우기 전에 조건의 역할을 한 문장으로 쓰기

이 장면에서는 답 전체를 다시 베끼기보다, t=−1을 남긴 바로 아래에 다음 문장을 적는다.

“t=2^x이므로 t는 항상 양수이고, t=−1은 치환식의 범위에 맞지 않아 제외한다.”

그다음 t=4만 남겨 2^x=4를 해결한다. 계수나 부호가 바뀌어도 먼저 치환식의 범위를 적고, 이차방정식의 후보와 그 범위의 교집합을 구하는 순서를 유지해야 한다.

조건을 좁힌 변형식에서 최종 후보를 스스로 걸러내기

이제 조건 x<2가 추가된 문제를 확인한다.

2^2x+2^x−6=0

t=2^x>0으로 두면

t²+t−6=0
(t+3)(t−2)=0

t=−3은 t>0에 어긋나 제거하고, t=2에서 x=1을 얻는다. 마지막으로 x=1은 x<2도 만족하므로 해는 x=1이다. 치환변수의 양수 조건과 문제에 주어진 x의 범위를 각각 확인한 뒤, 두 조건을 모두 만족하는 값만 최종 답으로 적는지가 새로운 계수와 추가 범위에서도 유지되는지 살핀다.