노량진고3수학과외

노량진 통학 뒤 확보한 시간으로 점검한 곱의 미분법

노량진동에서 이동해 동작구 통학권의 고등학교에 다니는 고3 학생은 방과 후 자습시간에 미분 문제를 정리했다. 풀이 시간보다 답안을 다시 확인하는 시간이 부족해, 마지막 답만 고치지 않고 처음 규칙을 선택한 줄부터 추적하는 연습이 필요했다.

첫 줄에서 빠진 항 찾기

학생은 다음 함수를 미분했다.

f(x)=(x²+1)e^2x

답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

f′(x)=(2x)e^2x

이 식은 오답이다. 두 함수의 곱을 미분하면서 첫 번째 함수의 도함수와 두 번째 함수만 곱한 f′g 항만 남기고, 첫 번째 함수와 두 번째 함수의 도함수를 곱한 fg′ 항을 빠뜨렸기 때문이다.

곱의 미분법은 (fg)′=f′g+fg′이므로, 여기서는

f′(x)=2x·e^2x+(x²+1)·2e^2x

이다. 따라서 정리하면

f′(x)=2e^2x(x²+x+1)

이 된다.

틀린 줄을 표시하고 조건을 다시 확인하는 과정

• 1줄 표시: “곱의 미분인데 항을 하나만 썼다”라고 f′g만 적힌 부분에 표시한다.
• 관계 확인: u=x²+1, v=e^2x로 두고 원래 함수가 uv의 곱인지 확인한다.
• 식 수정: u′v+uv′에 맞춰 2xe^2x+(x²+1)2e^2x를 다시 쓴다.
• 대입 검산: x=0을 대입하면 수정한 도함수는 f′(0)=2이지만, 오답식은 0이 된다. 두 결과가 다르므로 빠진 항이 실제 값에 영향을 준다는 것을 확인한다.

학생은 풀이 옆에 ‘곱인가?’, ‘두 항을 모두 썼는가?’, ‘특정 값 대입 결과가 원래 구조와 맞는가?’를 체크박스로 적어, 마지막 답만 고치는 습관을 줄였다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고, 함수와 계수를 바꾸어 다음 문제를 풀었다.

y=(3x-2)cos(x²)일 때 y′를 구하여라.

학생은 u=3x-2, v=cos(x²)로 두고

u′=3,　v′=-2x sin(x²)

를 확인했다. 따라서

y′=3cos(x²)-2x(3x-2)sin(x²)

이다. x=0을 대입하면 y′(0)=3이다. 첫 항만 사용하면 3cos(0)=3이지만, x=1에서는 두 번째 항이 2가 되므로 f′g만 쓰는 방식으로는 전체 도함수를 얻을 수 없다는 점까지 확인했다.