노량진고2수학과외

노량진 고2수학과외에서 추적한 지수방정식의 오답 줄

방과 후 이동 시간을 고려해 확보한 자습 시간에 지수방정식 풀이를 살펴보면, 답만 고치는 것보다 어느 계산 줄에서 관계가 끊겼는지를 확인하는 일이 먼저 필요하다. 노량진동에 해당 주소의 고등학교가 확인된 것은 아니므로, 성남고등학교·수도여자고등학교·동작고등학교 등 동작구 내 학교의 통학권 학습 상황을 참고해 풀이 기록을 점검했다.

4를 2로 바꾸지 않은 순간

문제는 다음과 같다.

4^x = 2^x+3

풀이 기록에는

4^x = 2^x+3에서 x = x+3, 따라서 해가 없다고 적혀 있었다.

이 줄에서는 양변의 밑이 같지 않은데 지수만 비교했다. 먼저 4를 밑이 2인 거듭제곱으로 바꾸어야 한다.

4^x = (2²)^x = 2^2x

따라서

2^2x = 2^x+3이므로 2x = x+3, 즉 x=3이다.

실제로 4³=64이고 2⁶=64이므로 해가 원래 식을 만족한다. 밑 2는 0보다 크고 1이 아니므로 같은 밑의 지수를 비교할 수 있다.

마지막 답보다 앞의 변환식을 확인하기

오답을 고칠 때 결과만 x=3으로 바꾸면 같은 실수가 다른 계수에서 반복된다. 풀이 줄을 다음처럼 남겨 두고, 바뀐 관계를 옆에 적는다.

4^x = 2^x+3
4 = 2² 이므로 (2²)^x = 2^x+3
2^2x = 2^x+3
2x = x+3

이때 “밑 통일”이라고만 표시하지 않고 4=2², 2>0, 2≠1을 함께 적는다. 그래야 숫자 4를 그대로 둔 채 지수만 비교한 줄을 찾아낼 수 있다.

조건과 해의 교집합까지 남는지 확인

다음 문제에서는 계산 결과만으로 답을 확정할 수 없도록 범위를 추가한다.

8^x-1 = 2^2x+1, 단 x<2

8=2³이므로

2^3x-3 = 2^2x+1

3x-3=2x+1에서 x=4를 얻는다. 그러나 문제의 조건은 x<2이므로

{4}∩{x｜x<2}=∅

따라서 최종 답은 해가 없다이다. 여기서 x=4를 그대로 답으로 적지 않고, 계산으로 얻은 값과 주어진 범위의 교집합을 구했는지가 새로운 조건에서 확인할 판단이다.