동두천고3수학과외

동두천 고3 수학과외에서 찾은 기댓값 계산의 최초 오류

동두천중앙고등학교, 동두천고등학교 등 동두천의 일반고 학생을 지도할 때는 정답 숫자보다 풀이의 어느 줄에서 확률변수와 확률의 관계가 끊겼는지 먼저 확인한다. 지행동 생활권에서 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 조정하는 학생이라면, 채점 직후 틀린 문제를 다시 풀 때 최초 불일치 지점을 기록하는 습관이 중요하다.

기댓값에서 확률을 빠뜨린 풀이

학생은 확률변수 X의 확률분포가 다음과 같은 문제를 풀었다.

• X=0, 1, 3
• P(X=0)=0.2, P(X=1)=0.5, P(X=3)=0.3

확률의 합은 0.2+0.5+0.3=1이므로 분포 조건은 맞다. 그러나 학생은 채점 후 정답만 옮겨 적으며 다음과 같이 계산했다.

학생의 오답: E(X)=0+1+3=4

이 식은 각 값에 해당 확률을 곱하지 않았기 때문에 틀렸다. 기댓값은 가능한 값의 단순한 합이 아니라, 각 값에 그 값이 나타날 확률을 곱한 가중평균이다.

따라서 정확한 계산은

E(X)=0×0.2+1×0.5+3×0.3=0+0.5+0.9=1.4

이다. 학생이 처음으로 잘못 선택한 공식은 E(X)=x₁+x₂+x₃로 바꿔 쓴 줄이다. 이 줄을 표시하지 않고 정답 1.4만 기록하면 같은 누락이 다른 문제에서 반복된다.

오답 줄을 기준으로 다시 검산하기

풀이 노트에서 잘못된 줄에 표시한 뒤, 각 변수값 옆에 확률을 붙였다. 이어 확률의 합이 1인지 확인하고, 수정한 식에 다시 대입했다.

• 확률 확인: 0.2+0.5+0.3=1
• 기댓값 수정: 0×0.2+1×0.5+3×0.3=1.4
• 범위 확인: 0≤E(X)≤3이므로 1.4는 가능한 값이다.

이후 분산도 같은 원리로 계산했다. 먼저

E(X²)=0²×0.2+1²×0.5+3²×0.3=0+0.5+2.7=3.2

를 구하고,

V(X)=E(X²)-{E(X)}²=3.2-1.4²=3.2-1.96=1.24

로 마무리했다. 분산은 음수가 될 수 없다는 점과 V(X)=E(X²)-{E(X)}²의 두 계산 결과가 일치하는지도 확인했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 숫자를 반복하지 않고, 새로운 확률변수 Y에 대해 다음 조건을 제시했다.

• Y=1, 2, 5
• P(Y=1)=0.4, P(Y=2)=0.1, P(Y=5)=0.5

학생은 각 값에 확률을 곱해

E(Y)=1×0.4+2×0.1+5×0.5=0.4+0.2+2.5=3.1

을 구했다. 또한

E(Y²)=1²×0.4+2²×0.1+5²×0.5=0.4+0.4+12.5=13.3

이므로

V(Y)=13.3-3.1²=13.3-9.61=3.69

이다. 확률의 합은 0.4+0.1+0.5=1이고, 기댓값 3.1은 최솟값 1과 최댓값 5 사이에 있다. 조건이 바뀌어도 ‘각 변수값에 그 확률을 곱한다’는 관계를 유지했는지가 핵심 검증 기준이다.