동두천고2수학과외, 교대부호 수열의 일반항을 계산 줄에서 점검하기
지행동에서 귀가 후 학교 프린트와 과제를 정리할 때, 수열의 답만 맞추는 것보다 어느 줄에서 규칙이 바뀌었는지 확인하는 과정이 중요하다. 특히 -1, 1, -1, 1처럼 부호가 번갈아 나타나는 수열은 지수의 시작값을 놓치면 일반항 전체가 어긋난다.
-1, 1, -1, 1에서 지수의 시작값 확인하기
수열을
a1=-1, a2=1, a3=-1, a4=1
이라고 하자. n=1일 때 -1이 나와야 하므로
an=(-1)n
이 정확한 일반항이다. 실제로
(-1)1=-1, (-1)2=1, (-1)3=-1, (-1)4=1
이 된다.
풀이에서 an=(-1)n+1이라고 적었다면 첫 줄부터 오류다. 이 식은
(-1)1+1=1, (-1)2+1=-1
이므로 1, -1, 1, -1을 만든다. 두 식은 비슷해 보이지만 첫째항의 부호가 반대다. 따라서 계산 중 처음 어긋난 기호인 n=1에서 (-1)n+1을 사용한 줄에 표시해야 한다.
일반항에 다른 크기 항이 붙을 때 부호와 값을 분리하기
예를 들어
an=(-1)n(2n+1)
의 첫 네 항을 구하면
a1=(-1)(3)=-3,
a2=1·5=5,
a3=(-1)(7)=-7,
a4=1·9=9
이다. 부호 부분과 크기 부분을 따로 적으면 (-1)n이 부호를 결정하고 2n+1이 절댓값을 결정한다는 관계가 드러난다. 이 구분 없이 항의 숫자만 나열하면 어느 계산 줄에서 부호가 뒤집혔는지 찾기 어렵다.
경계 항 n=6을 포함하는지 직접 판정하기
다음 조건에서
an=(-1)n(n-2), 2≤n≤6
a6을 구해 보자. 범위에 등호가 있으므로 n=6은 포함된다.
a6=(-1)6(6-2)=1·4=4
반대로 조건이 2≤n<6이라면 n=6은 포함되지 않는다. 이때 마지막 항은 n=5에서
a5=(-1)5(5-2)=-3
이다. 경계값을 계산하기 전에 부등호에 등호가 있는지 먼저 표시해야 항의 개수와 마지막 항을 잘못 정하지 않는다.
답안에는 처음 어긋난 부분을 지운 뒤 끝내지 않고, 바로 아래에 (-1)n을 사용한 이유와 n의 범위를 다시 쓴다. 이후 제시된 수열의 첫째항과 마지막 조건을 대입해 부호와 포함 여부를 함께 확인하면, 숫자가 바뀐 문제에서도 일반항의 규칙을 추적할 수 있다.