지행동중3수학과외, 한 점에서 그은 두 접선의 길이와 근거를 연결하는 연습
두 접선의 길이가 같다는 답만으로는 풀이가 끝나지 않는다
원 밖의 한 점 P에서 원에 그은 두 접선이 각각 PA, PB이고, 원의 중심이 O일 때 학생이 “PA=PB이므로 7cm”라고 적었다. 답은 맞았지만 풀이에는 빠진 연결이 있었다. 접점 A와 B에서 반지름을 그으면 OA⊥PA, OB⊥PB가 되고, OA와 OB는 같은 원의 반지름이므로 길이가 같다. 두 직각삼각형 POA와 POB에서 공통변 PO, 같은 반지름 OA=OB가 대응하므로 PA=PB가 성립한다.
따라서 한 점에서 그은 두 접선 문제는 그림에 표시된 숫자를 곧바로 옮기는 유형이 아니다. 접점, 중심, 반지름, 직각 표시를 먼저 확인하고 어떤 두 삼각형을 비교할지 정해야 한다.
학생의 첫 풀이에서 빠진 선분 하나
한 문항에서 OP=13cm, 원의 반지름이 5cm일 때 접선 PA의 길이를 구하라는 조건이 제시되었다. 학생은 원과 P를 보고 PA=13-5=8이라고 계산했다. 이 식은 접선이 중심을 지나는 선분처럼 취급한 데서 나온다. 하지만 OP와 PA는 직각삼각형의 두 변이며, 반지름 OA가 접선 PA와 만나는 지점에서 직각을 이룬다.
학생이 수정할 때는 그림에 임의로 많은 선을 추가하는 대신 먼저 O와 A를 연결했다. 그 뒤 “OA는 반지름, PA는 접선이므로 OA와 PA는 수직”이라고 말하고, 삼각형 OAP에 피타고라스 정리를 적용했다.
OP2=OA2+PA2이므로
132=52+PA2
PA2=169-25=144, PA=12이다.
길이는 음수가 될 수 없으므로 PA=-12를 함께 답으로 쓰지 않는다. 학생이 처음 적은 8은 그림의 선분을 단순히 빼서 얻은 값이고, 직각 조건을 이용한 12가 문제의 구조에 맞는 답이다.
두 접선의 길이를 같게 쓰는 순간을 구별하기
다른 문제에서는 P에서 그은 접선이 PA, PB이고 PA=9cm라고 주어졌다. 이때 PB를 구하는 과정은 피타고라스 정리를 다시 계산하는 것이 아니다. 같은 외부점 P에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다는 성질을 적용하여 PB=PA=9cm로 쓴다.
다만 학생은 이 성질을 “원에 닿는 선분은 모두 같다”라고 설명했다. 이는 잘못된 표현이다. 서로 다른 외부점에서 그은 접선까지 모두 같은 것은 아니며, 기준이 되는 외부점이 동일해야 한다. 답안에는 “같은 점 P에서 원에 그은 두 접선 PA, PB이므로 PA=PB”라고 적도록 문장을 바꾸었다.
이후에는 두 접선의 길이를 먼저 구한 뒤 둘레를 묻는 문제도 연결했다. PA=PB=9cm이고 호를 제외한 도형의 다른 변이 각각 6cm, 11cm라면 해당 사각형의 둘레는 9+9+6+11=35cm이다. 접선의 길이가 같다는 성질과 도형의 둘레 계산을 섞어 쓰지 않고, 먼저 같은 길이를 확정한 다음 필요한 선분을 더하는 순서를 지켰다.
그림이 회전해도 접점에서 직각을 찾는 훈련
학생이 자주 멈춘 장면은 원이 옆으로 놓이고 접선이 비스듬히 그려진 문제였다. 수평으로 놓인 그림에서는 직각 표시를 찾았지만, 그림이 회전되자 “이 선이 반지름인지 모르겠다”며 계산을 시작하지 못했다. 이때 확인할 것은 선분의 방향이 아니라 역할이다. 원의 중심에서 접점까지 이어진 선분이 반지름이고, 접점에서 원에 닿아 원과 한 점에서 만나는 선이 접선이다. 두 선은 접점에서 수직이다.
학생은 새 그림을 받을 때마다 먼저 중심을 O, 접점을 A처럼 표시하고 OA와 접선의 교점을 확인했다. 직각 표시가 그림에 없더라도 접선의 정의에서 OA⊥PA를 꺼내도록 했다. 중1·중2에서 배운 직각삼각형의 피타고라스 정리를 짧게 확인한 뒤 곧바로 현재 문제로 돌아와, 필요한 선수개념만 현재 풀이에 사용했다.
지행동의 통학 일정 속에서 풀이 절차를 짧게 고정하기
지행동 주소 기준으로 확인된 중학교는 없으며, 같은 동두천시의 참고 학교로 동두천여자중학교, 동두천중학교, 생연중학교, 송내중앙중학교, 신흥중학교가 제공되어 있다. 이 학교들을 지행동 소재 학교로 단정할 수는 없다. 지행역부영9단지 등이 포함된 생활권에서는 중학교에서 고등학교로 이동하며 통학과 과제, 시험 준비 시간이 달라질 수 있으므로 긴 풀이를 매번 새로 구성하기보다 짧은 확인 절차를 정해 두는 편이 실용적이다.
학생에게 정한 절차는 ‘중심과 접점 표시 → 반지름과 접선의 직각 확인 → 같은 외부점인지 확인 → 필요한 정리 선택 → 길이의 양수 조건 확인’이다. 두 접선의 길이를 묻는 문제에서는 세 번째 단계 뒤 바로 PA=PB를 쓰고, OP와 반지름이 주어진 문제에서는 직각삼각형을 만든 뒤 피타고라스 정리를 사용한다.
숫자와 표현을 바꾼 문제에서 원리를 꺼내는가
마지막에는 앞서 풀었던 숫자를 바꿔 OP=17cm, OA=8cm인 그림을 제시했다. 접선 PA를 구할 때 학생은 17-8을 계산하지 않고, 먼저 OA⊥PA를 표시했다.
172=82+PA2이므로 PA2=289-64=225, PA=15cm이다. 이어 같은 점 P에서 그은 다른 접선 PB도 15cm라고 설명했다. 이번에는 접선이 아래쪽에 배치되고 숫자와 문장 순서가 달라졌지만, 학생은 정답을 기억해 옮긴 것이 아니라 직각 조건과 같은 외부점이라는 근거를 다시 사용했다.
한 점에서 그은 두 접선 단원에서 확인할 기준은 문제 수가 아니다. 그림의 방향이 바뀌고, 구하는 대상이 접선 길이에서 둘레로 바뀌어도 중심·접점·직각을 먼저 찾은 뒤 알맞은 성질을 선택하는지에 있다.