주기와 도함수를 함께 확인하는 삼각함수 풀이
청량리동의 청량고등학교 학생은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 달라 같은 삼각함수 문제도 풀이 점검 순서를 따로 정리하고 있다. 동대문구의 동국대학교사범대학부속고등학교, 해성여자고등학교 등은 같은 구의 참고 학교이므로 청량리동 소재 학교와 구분해 살펴본다.
계산보다 먼저 고정해야 할 조건
문제에서 f(x)=sin 2x일 때 f와 f'의 주기를 구하고, 주기를 양의 최소값으로 나타내라고 하자. 학생은 처음에 원함수의 주기를 계산하지 않은 채 미분부터 진행했다.
일반적으로 sin(ax+b)의 주기는 2π/|a|이다. 따라서
f(x)=sin 2x의 주기는 2π/2=π이다.
도함수는
f'(x)=2cos 2x
이며, 앞의 상수 2는 진폭만 바꾸고 주기를 바꾸지 않는다. 따라서 f'(x)의 주기도 π이다.
실제 오답과 처음 틀린 줄
f(x)=sin 2x의 주기: π
f'(x)=2cos 2x의 주기: 2π
위 두 번째 줄은 오답이다. cos(2x)의 각 계수는 2이므로 주기는 2π/2=π이다. 학생은 cos x의 주기 2π를 그대로 적용하면서 내부의 변수 2x를 반영하지 않았다. 도함수의 계수 2를 주기와 연결한 것도 잘못된 판단이다. 계수 2는 함수값을 두 배로 만들 뿐 x의 반복 간격을 바꾸지 않는다.
오답을 고치는 검산 순서
- 틀린 줄에 표시하고, 원함수와 도함수를 각각 sin(ax+b), cos(ax+b) 꼴로 다시 쓴다.
- 변수의 계수와 주기의 관계 T=2π/|a|를 확인한다.
- f'(x)=2cos 2x에서 2는 진폭 계수이고, 주기 계산에 들어가는 변수 계수는 cos 내부의 2임을 구분한다.
- f'(x+π)=2cos(2x+2π)=2cos 2x=f'(x)로 대입 검산한다.
- π보다 작은 양의 수가 주기가 될 수 있는지 cos의 한 바퀴 변화를 확인해 최소 주기임을 점검한다.
따라서 최종 결론은 f의 주기와 f'의 주기 모두 π이다. 원함수의 주기를 먼저 고정하면 도함수에서도 내부 각의 계수를 놓치지 않게 된다.
계수를 바꾼 독립 검증
이번에는 g(x)=−3sin(3x−π/4)의 도함수와 주기를 구해 보았다.
미분하면
g'(x)=−9cos(3x−π/4)
이다. 내부의 x 계수가 3이므로 g와 g'의 주기는 모두
T=2π/3
이다. 실제로
g'(x+2π/3)=−9cos(3x+2π−π/4)=−9cos(3x−π/4)=g'(x)
가 성립한다. 계수와 위상 이동은 달라졌지만 주기는 내부 변수의 계수 3으로 결정된다는 점까지 확인하면서, 이전의 2π 오답을 새 조건에 적용하지 않고 처음부터 다시 판단했다.