청량리고2수학과외

청량리 고2수학과외: 로그 척도에서 차이와 실제값의 비를 구분하기

로그 척도 문제에서 자주 생기는 오류는 눈금의 차이를 실제 양의 차이로 읽는 것이다. 청량고등학교 내신을 준비할 때도 학교 프린트의 자료 해석 문항에서 로그값과 실제값의 관계를 식으로 확인해야 한다. 같은 동대문구의 다른 학교 자료를 청량리 지역 학교의 출제 경향으로 단정할 수는 없으므로, 학교별 문제 형식보다 먼저 로그의 성립 조건과 해석 범위를 점검하는 것이 필요하다.

로그 눈금 2칸은 실제값의 2가 아니다

어떤 양 Q를 기준값 Q₀에 대한 로그 척도로

L = log₁₀(Q/Q₀)

라고 하자. 이때 반드시 Q > 0, Q₀ > 0이어야 한다. 두 측정값의 로그 척도가 각각 5와 7이면

log₁₀(Q₂/Q₀) - log₁₀(Q₁/Q₀) = 2

이므로

log₁₀(Q₂/Q₁) = 2,  따라서  Q₂/Q₁ = 10² = 100

이다. 따라서 실제값은 2만큼 커진 것이 아니라 100배가 된다. 로그 척도에서 차이는 실제 양의 차가 아니라 실제 양의 비율과 연결된다.

정답을 지우기 전에 틀린 해석을 한 문장으로 남기기

재풀이 과정에서 다음과 같이 적었다고 하자.

로그 척도 값이 2만큼 크므로 실제 값도 2만큼 크다.

이 문장은 로그값의 차이와 실제값의 차이를 혼동한 것이다. 정답 전체를 지우지 않고, 오류 원인을 먼저 다음처럼 적는다.

오류 원인: 로그값의 차이는 실제값의 차가 아니라 실제값의 비율을 나타낸다.

그 다음 해당 단계만

Q₂/Q₁ = 10² = 100

으로 고친다. 또한 로그의 진수에 해당하는 Q₁/Q₀과 Q₂/Q₀가 양수인지 확인해야 한다. 실제값이 0이거나 음수라면 이 로그 척도는 실수 범위에서 정의되지 않는다.

새로운 척도에서 조건부터 검산하기

다음 문제로 풀이 순서를 확인한다.

소리의 세기 I를 기준 세기 I₀에 대해

β = 10log₁₀(I/I₀)

로 나타낸다. 두 소리의 세기 수준이 각각 40dB와 70dB일 때 실제 세기의 비를 구하여라.

먼저 I₁ > 0, I₂ > 0인지 확인한다. 이어서

70 - 40 = 10log₁₀(I₂/I₁)

이므로

30 = 10log₁₀(I₂/I₁),
log₁₀(I₂/I₁) = 3

따라서

I₂/I₁ = 10³ = 1000

이다. 로그 척도의 차이 30dB를 실제 세기의 차이 30으로 쓰지 않았고, 마지막에 두 세기가 모두 양수라는 정의역 조건도 확인했다면 새로운 조건에서도 같은 판단을 유지한 것이다.