제기동 고3수학과외에서 확인한 삼각함수 몫의 미분
제기동의 서울정화고등학교와 동대문구 내 동국대학교사범대학부속고등학교, 청량고등학교, 해성여자고등학교, 휘경여자고등학교 등은 서로 다른 학교이므로 학생의 내신 운영과 주간 학습 일정도 개별적으로 살펴야 한다. 이번 사례의 학생은 주기와 계수가 바뀐 삼각함수 몫을 보면 해설부터 찾는 습관이 반복되고 있었다.
몫의 미분에서 부호를 놓친 풀이
다음 함수를 미분하고 x=π/12에서의 도함숫값을 구한다.
f(x)=sin(3x−π/4) / cos(3x−π/4)
학생은 u=3x−π/4로 둔 뒤 다음과 같이 계산했다.
f′(x)={3cos u·cos u−sin u·3sin u}/cos²u
=3(cos²u−sin²u)/cos²u
이 식은 오답이다. 분모를 v=cos u로 보면 v′=−3sin u이므로 몫의 미분 공식에서 −sin u·(−3sin u)가 되어 두 항이 더해져야 한다. 학생은 분모의 도함수에 있는 음수와 몫의 공식에 있는 음수를 함께 처리하지 못했다.
정의역과 합성 구조를 먼저 세우기
몫의 미분 공식에 따라
f′(x)={(3cos u)cos u−sin u(−3sin u)}/cos²u
=3(cos²u+sin²u)/cos²u=3sec²u
이다. 단, 원래 함수의 분모가 0이면 안 되므로 cos(3x−π/4)≠0이라는 정의역 조건을 함께 적어야 한다. 이제 x=π/12를 대입하면 u=0이므로
f′(π/12)=3sec²0=3
이다. 학생은 왼쪽 여백에 ‘분모 도함수 부호 오류’라고 표시한 뒤, ① 합성함수의 안쪽 미분계수 확인 ② 분모의 도함수 부호 확인 ③ 삼각함수 기본식으로 정리 ④ 원식에 대입하는 순서로 다시 풀었다.
tan으로 바꾼 뒤의 교차검증
같은 식은 정의역 안에서
f(x)=tan(3x−π/4)
로 쓸 수 있으므로
f′(x)=3sec²(3x−π/4)
가 된다. 몫의 공식으로 얻은 결과와 일치한다. 또한 x=π/12를 원함수에 넣으면 f(π/12)=tan0=0이고, 해당 점에서 분모도 cos0=1이므로 정의역 밖의 값이 남지 않는다.
주기를 바꾼 새 문제로 확인하기
이번에는
g(x)=sin(2x+π/3)/cos(2x+π/3)
를 −π/6≤x≤π/6에서 미분하고 x=0의 값을 확인한다. 분모 조건은 cos(2x+π/3)≠0이며, 해당 구간에서는 2x+π/3가 [0,2π/3]에 있으므로 x=π/12에서는 원함수가 정의되지 않는다.
정의되는 점에서
g′(x)=2sec²(2x+π/3)
이고, x=0에서는
g′(0)=2sec²(π/3)=2·4=8
이다. 학생은 새 문제에서도 오류 종류를 먼저 적고, 분모의 정의역을 확인한 다음 몫의 공식과 tan 변환 결과가 모두 8인지 대조했다.