제기동 고2수학과외: 로그함수 교점과 대소 비교를 그래프로 판단하기
로그함수와 직선의 교점을 구할 때 계산식만 정리하면 정의역 밖의 값을 답에 남길 수 있다. 제기동한신아파트와 고려대역 생활권에서 학교별 주간 일정과 프린트 진도가 다르더라도, 이 유형에서는 먼저 그래프의 범위와 변화 방향을 확인해야 한다.
log₂x = 3 − x에서 x≤0 후보를 제거하는 이유
두 함수
y = log₂x, y = 3 − x
의 교점을 찾는 문제를 보자. 로그함수의 정의에 따라 반드시 x>0이어야 한다. 또한 밑이 2이므로 y=log₂x는 x>0에서 증가하고, 직선 y=3−x는 감소한다. 따라서 두 그래프의 교점은 많아야 하나이다.
x=2를 대입하면
log₂2 = 1, 3−2 = 1
이므로 교점은 (2,1)이다. 풀이 중 x≤0인 후보가 나왔다면 대수 계산으로 얻은 값일 뿐, 로그함수의 정의역에 속하지 않으므로 즉시 제외해야 한다. 예를 들어 x=0에서는 log₂0이 정의되지 않고, 음수에서도 실수 범위의 로그값을 정할 수 없다.
점근선과 단조성을 먼저 적어야 대소 비교가 흔들리지 않는다
학생의 답안에는 교점 후보를 계산하는 줄은 있었지만, x=0이 수직점근선이라는 표시와 함수의 증가·감소 방향이 빠져 있었다. 그래서 후보의 정의역을 확인하지 않은 채 교점 개수를 판단했다.
다음처럼 표를 먼저 만들면 판단 근거가 분명해진다.
| 함수 | 정의역 | 변화 |
|---|---|---|
log₂x |
x>0 |
증가 |
3−x |
모든 실수 | 감소 |
0<x<2에서는 log₂x<1이고 3−x>1이므로 로그함수가 직선보다 아래에 있다. 반대로 x>2에서는 로그함수는 1보다 커지고 직선은 1보다 작아져 로그함수가 위에 있다. 교점에서 두 값이 같고, 그 뒤에는 대소관계가 바뀌지 않는다.
수정 훈련: 로그 규칙을 역으로 적용해 원식을 복원하기
계산한 식이 원래 교점 조건으로 돌아오는지 확인하는 훈련을 한다. log₂x=3−x에서 양변에 밑 2를 적용하면
x = 23−x
가 되어야 한다. 구한 값 x=2를 넣으면
2 = 21 = 2
로 원식이 복원된다. 반면 x≤0인 후보는 처음 식의 로그 진수 조건부터 만족하지 못하므로 역변환 검산을 통과할 수 없다.
계수와 진수가 바뀐 식에서도 같은 판단이 유지되는가
다음 변형문제를 제시한다.
log₂(x+2) = 4−x
이번에는 정의역이 x+2>0, 즉 x>−2이다. 좌변은 이 범위에서 증가하고 우변은 감소하므로 교점은 최대 하나이다. x=2를 대입하면
log₂4=2, 4−2=2
이므로 교점은 (2,2)이다. 검산할 때는 2 = 24−2−2 = 2처럼 지수형으로 바꾸어 원래 진수 x+2가 복원되는지 확인한다.
새로운 식에서 정의역을 x>−2로 바꾸어 적고, 점근선 x=−2, 로그함수의 증가, 직선의 감소를 다시 표시했다면 교점과 대소 비교를 조건에 맞게 적용한 것이다.