토당동중2수학과외, 수형도 가지를 끝까지 살피는 경우의 수 훈련
경우의 수는 답의 숫자만 맞히는 단원이 아니다. 어떤 선택이 가능한지 빠짐없이 나누고, 이미 센 경우를 다시 세지 않는 과정이 핵심이다. 특히 수형도를 그리다가 중간 가지를 생략하면 실제보다 적은 경우를 답으로 쓰기 쉽다. 토당동중2수학과외에서는 문제를 많이 푼 날보다, 새로운 조건에서도 수형도를 다시 구성할 수 있는지를 학습 기준으로 삼는다.
토당동 학생의 생활 리듬부터 확인하는 이유
토당동에는 능곡중학교가 있으며, 같은 덕양구의 가람중학교·고양제일중학교·고양중학교·덕양중학교는 참고할 수 있는 학교다. 이 학교들이 토당동 소재 학교라는 뜻은 아니다. 토당KCC아파트와 별빛마을9단지 등 주거지에서 학교나 학습 공간까지 이동하는 시간도 학생마다 다를 수 있다. 그래서 귀가가 늦은 학생에게 긴 문제 묶음을 일괄적으로 주기보다, 짧은 시간에도 수형도의 분기 기준을 말하고 한 문제를 완성하게 하는 방식이 효율적이다.
답을 적게 만드는 순간
예를 들어 티셔츠 3가지와 바지 2가지를 고르는 경우에는 3×2=6가지이다. 학생은 티셔츠 A에서 바지 2개, 티셔츠 B에서 바지 2개까지 그린 뒤 티셔츠 C의 가지를 생략하고 “4가지”라고 적는다. 또는 첫 번째 선택을 3가지로 나눈 다음 두 번째 선택을 한 가지만 적어 각 가지가 모두 같은 수로 뻗는다고 착각한다.
조금 더 복잡한 문제에서는 빨강·파랑·초록 중 하나를 먼저 고르고, 숫자 1·2를 이어 고른 뒤 마지막 조건에 따라 모자를 선택하게 한다. 학생이 수형도 아래쪽 가지를 중간에 줄이면 어떤 경우가 빠졌는지 본인도 찾지 못한다. 이때 오답은 단순 계산 실수가 아니라 경우 누락이다. 반대로 같은 조합을 순서를 바꾸어 두 번 적으면 중복으로 분류해야 한다.
수형도를 그리는 순서를 고정하지 않기
먼저 문제의 선택 순서를 문장으로 바꾼다. “첫째, 색을 고른다. 둘째, 숫자를 고른다. 셋째, 조건에 맞는 모양을 고른다”처럼 각 단계의 기준을 짧게 쓴다. 그다음 첫 단계의 선택을 모두 가로로 적고, 각 가지에서 다음 단계가 몇 개로 나뉘는지 실제로 확인한다. 가지 수가 같다고 미리 곱하지 않고, 조건이 붙은 가지와 조건이 없는 가지를 구분한다.
학생이 수형도 중간에서 멈추면 “몇 가지인가?”라고 묻기보다 “두 번째 색을 고른 뒤 숫자 1에서 가능한 선택은 모두 몇 개인가?”라고 질문한다. 도움을 받은 뒤에는 빠진 가지를 다른 색으로 표시하고, 각 끝점에 선택 결과를 하나씩 적게 한다. 마지막에는 끝점의 개수를 세고, 곱셈으로 계산한 값과 일치하는지 확인한다. 곱셈 결과가 다르면 수형도의 어느 단계에서 선택 수가 달라졌는지 다시 표시한다.
한 학생의 오답 기록
능곡중학교 학생 한 명은 시험 직전 경우의 수 문제를 여러 장 풀고도 수형도 문제에서 같은 실수를 반복했다. 첫 번째 선택이 A, B, C이고 두 번째 선택이 1, 2, 3인 문제에서 A와 B의 가지는 끝까지 그렸지만 C에서는 1만 적었다. 답안에는 “3×3=9”라는 계산이 남아 있었지만, 실제 그림의 끝점은 7개뿐이었다. 계산식과 그림이 서로 맞지 않는다는 사실을 확인하지 않은 것이 핵심이었다.
학생은 처음에 “수형도는 시간이 오래 걸려서 곱셈으로 풀었다”고 말했다. 그러나 조건이 붙어 두 번째 선택이 가지마다 달라지면 단순한 곱셈을 바로 사용할 수 없다. 예를 들어 A에서는 숫자 1, 2가 가능하고 B에서는 2, 3이 가능하다면 각 가지의 끝점을 따로 세어야 한다. 이 구분을 한 뒤 학생은 문제를 읽을 때 선택 단계와 제한 조건에 밑줄을 긋기 시작했다.
새 조건으로 독립 적용하기
같은 티셔츠와 바지 문제를 다시 풀게 하는 것만으로는 충분하지 않다. 숫자를 바꾸어 티셔츠 4가지, 바지 2가지로 제시하고, 특정 티셔츠에는 한 종류의 바지만 허용하는 문제를 준다. 학생은 첫 번째 가지와 두 번째 가지의 끝점 수가 달라지는 것을 수형도로 표현해야 한다.
다음에는 선택 순서를 바꾼다. 바지를 먼저 고르고 티셔츠를 나중에 고르게 하되, “검은 바지를 고른 경우에는 티셔츠 3개만 가능하다”와 같은 조건을 넣는다. 학생이 이전 그림을 외워 재현하는지, 아니면 새 조건에 맞춰 가지를 다시 만드는지 확인한다. 시간 제한도 5분 정도로 설정해 모든 끝점을 표시하고, 마지막 답이 각 가지의 합과 일치하는지 검산하게 한다.
수형도를 끝까지 그렸다는 사실보다 중요한 것은 어떤 선택이 빠지지 않았는지, 같은 결과가 두 번 들어가지 않았는지를 설명하는 것이다.
토당동중2수학과외에서 보는 학습 기준
과외에서는 하루에 많은 경우의 수를 풀었는지를 먼저 보지 않는다. 학생이 문제의 선택 단계를 스스로 나누는지, 조건이 바뀐 가지를 따로 표시하는지, 끝점 개수와 계산식이 맞는지 기록한다. 이동 시간이 길거나 공부 시간이 짧은 학생은 한 문제를 완성한 뒤 음성으로 “첫 단계 세 가지, 두 번째 단계는 가지마다 다름”을 설명하게 하여 학습 흐름을 이어 간다.
중3 선행을 시작하기 전에도 경우의 수에서 이런 독립 적용이 되는지 확인할 필요가 있다. 선행 문제를 많이 푸는 것보다 현재 중2 문제에서 수형도의 누락과 중복을 스스로 찾아 수정하는 편이 다음 학습의 출발점을 정확하게 보여 준다.
자주 묻는 질문
수형도와 곱셈 중 무엇을 먼저 사용하나요?
각 단계의 선택 수가 모든 가지에서 같고 조건이 서로 영향을 주지 않을 때 곱셈을 사용할 수 있다. 판단이 어렵다면 먼저 수형도로 가지를 확인한 뒤 곱셈 결과와 비교한다.
가지가 많으면 일부만 그려도 되나요?
중간 가지를 임의로 생략하면 누락을 확인하기 어렵다. 표나 짧은 기호를 사용하더라도 각 선택의 결과가 빠짐없이 기록되어야 한다.
답은 맞는데 수형도가 틀리면 어떻게 하나요?
우연히 계산값만 맞았을 수 있다. 숫자와 조건을 바꾼 새 문제에서 수형도를 다시 그려 끝점 수와 답이 일치하는지 확인한다.