지축동고3수학과외

지축동 고3수학과외, 절댓값 정적분에서 첫 부호 오류 찾기

지축동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으며, 화수고·백양고·신원고·성사고·능곡고 등 덕양구 내 학교를 통학권 참고 자료로 볼 수 있습니다. 지축LH8단지와 지축역센트럴푸르지오아파트 생활권에서 귀가 후 과제를 점검할 때는 풀이의 마지막 답보다 중간식의 첫 오류를 찾는 습관이 중요합니다.

마지막 부호만 고친 풀이가 틀린 이유

학생은 다음 정적분을 풀면서 음수인 구간도 그대로 적분했습니다.

I = ∫_-2¹|x²-x|dx

x²-x=x(x-1)의 영점은 0과 1입니다. 따라서 부호는 구간별로 달라집니다.

• -2≤x≤0에서는 x²-x≥0
• 0≤x≤1에서는 x²-x≤0

학생의 오답은 다음과 같습니다.

∫_-2¹|x²-x|dx = ∫_-2¹(x²-x)dx = [x³/3-x²/2]_-2¹ = 9/2

이 식은 오답입니다. 절댓값 안의 식이 0부터 1까지 음수인데도 원래 식을 그대로 사용했기 때문입니다. 절댓값은 음수 구간에서 부호를 반대로 바꾸어야 합니다.

별표 지점부터 다시 계산하기

학생이 풀이를 다시 볼 때 첫 불일치 줄에 별표를 표시하도록 했습니다.

* ∫₀¹|x²-x|dx에서 x²-x≤0이므로 x²-x가 아니라 -(x²-x)를 써야 합니다.

따라서 식을 다음과 같이 교체합니다.

I = ∫_-2⁰(x²-x)dx + ∫₀¹(-x²+x)dx

각 구간을 계산하면

∫_-2⁰(x²-x)dx = [x³/3-x²/2]_-2⁰ = 14/3

∫₀¹(-x²+x)dx = [-x³/3+x²/2]₀¹ = 1/6

그러므로 I=14/3+1/6=29/6입니다.

역계산으로 검산하는 방법

수정한 두 원시함수를 미분하면 각각 x²-x와 -x²+x가 됩니다. 이는 0을 기준으로 절댓값 함수의 부호가 바뀌는 구조와 일치합니다. 또한 두 구간에서 적분값이 모두 양수이므로 넓이를 나타내는 절댓값 정적분의 성질에도 맞습니다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 함수와 범위를 바꾸어 다음 문제를 확인합니다.

J = ∫_-1²|x²-2x|dx

x²-2x=x(x-2)는 -1≤x≤0에서 양수이고, 0≤x≤2에서 음수입니다.

J = ∫_-1⁰(x²-2x)dx + ∫₀²(-x²+2x)dx

첫 구간은 4/3, 둘째 구간도 4/3이므로 J=8/3입니다. 새 계수와 범위에서도 영점 확인, 음수 구간의 부호 변경, 원시함수 대입 순서를 처음부터 유지해야 같은 오류를 막을 수 있습니다.