지축동고1수학과외, 사전식 나열로 경우의 수 빠짐 찾기
지축동에서 귀가 후 학교 과제와 시험 준비 순서를 점검할 때, 경우의 수 문제의 오답은 계산보다 나열 과정에서 자주 생긴다. 특히 조건이 하나 추가된 뒤 기존 목록에서 일부 줄만 고치고, 빠진 경우가 없는지 확인하지 않으면 답이 달라져도 알아채기 어렵다.
목록의 순서가 뒤섞인 답안
예를 들어 숫자 1, 2, 3, 4 중 서로 다른 세 개를 골라 세 자리 수를 만드는 문제를 보자. 학생이 적은 목록이 다음과 같다고 하자.
123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432
이 목록은 모두 24개로, 실제로 빠진 경우 없이 완성되어 있다. 그러나 학생은 새 조건인 “3의 배수인 수만 고르기”가 추가되자 목록의 일부 숫자만 지우고 다음처럼 답을 바꾸었다.
123, 132, 213, 231, 312, 321, 234, 243, 324, 342, 423, 432
이 답은 12개이지만, 3의 배수 조건은 각 자리 숫자의 합이 3의 배수인지로 판단해야 한다. 1, 2, 3을 쓰는 경우 합은 6이므로 가능하고, 1, 2, 4를 쓰는 경우 합은 7이므로 불가능하다. 2, 3, 4의 합은 9이므로 234, 243, 324, 342, 423, 432는 가능하다. 따라서 이 문제의 답은 12개가 맞다.
맞힌 답도 빠짐 확인 과정이 필요하다
위 답안은 우연히 정답이지만, 학생은 3으로 시작하는 수를 먼저 적은 뒤 4로 시작하는 수를 뒤섞어 기록했다. 답안에는 어떤 묶음을 모두 확인했는지 표시가 없고, 조건이 추가된 뒤 어느 줄이 달라졌는지도 남아 있지 않다. 이런 상태에서는 숫자를 바꾼 유사문제에서 314처럼 합이 8인 수를 잘못 포함하거나, 412처럼 합이 7인 수를 빠뜨릴 수 있다.
수정할 때는 세 자리 수를 백의 자리 기준으로 묶는다. 먼저 1로 시작하는 경우를 사전식 순서로 적고, 그다음 2, 3, 4로 시작하는 경우를 같은 방식으로 이어 간다.
- 1로 시작: 123, 132
- 2로 시작: 213, 231
- 3으로 시작: 312, 321
- 4로 시작: 423, 432
각 묶음에서 둘째 자리와 셋째 자리를 바꾸는 두 경우가 모두 있는지 확인하면 2개씩, 총 6묶음이 된다. 따라서 6×2=12개이며, 목록의 구조와 계산 결과가 서로 일치한다.
조건이 붙은 줄부터 다시 작성하기
오답을 고칠 때는 전체 목록을 무작정 다시 베끼지 않는다. 먼저 ‘3의 배수 조건이 추가된 위치’를 표시하고, 그 줄부터 다시 쓴다. 조건이 없을 때의 기준 목록은 1, 2, 3, 4의 첫 자리 묶음이고, 조건이 붙은 뒤에는 각 묶음에서 숫자 합을 확인한다.
예를 들어 1로 시작하는 후보 123과 124 중 123은 1+2+3=6이므로 남기고, 124는 1+2+4=7이므로 제외한다. 2로 시작하는 후보 213과 214도 같은 방식으로 각각 6과 7을 비교한다. 이렇게 조건을 적용한 줄에만 표시하면 ‘기존 목록에서 무엇이 달라졌는가’를 추적할 수 있다.
처음 보는 문제에서 확인할 기록
시험 후 처음 보는 유사문제에서는 답을 먼저 제시하지 않고, 학생이 새로운 목록을 사전식 순서로 직접 구성하게 한다. 숫자 0, 2, 5, 7 중 서로 다른 세 개를 골라 세 자리 홀수를 만드는 문제라면, 백의 자리를 0으로 둘 수 없고 일의 자리는 5 또는 7이어야 한다. 학생이 먼저 일의 자리 조건을 적용한 뒤에도 백의 자리별 묶음을 빠짐없이 만드는지 살핀다.
또한 ‘이항’이라는 표현에 기대어 넘어가지 않고, 조건이 바뀐 줄에서 어떤 연산이나 조건을 새로 적용했는지 말하게 한다. 목록을 완성한 뒤에는 각 첫 자리 묶음의 개수와 전체 합을 비교하고, 빠진 조합이 없는지 스스로 설명한다. 이 과정을 마친 시점도 학생이 직접 정해 기록하게 하여, 정답만 확인하고 복습을 끝내는 습관과 구분한다.