원당동중3수학과외, sin의 뜻을 그림과 조건이 바뀌어도 적용하기
“sin 30°=0.5니까 답은 0.5예요.” 학생은 계산기를 보지 않고도 답을 맞혔지만, 왜 그런지 묻자 직각삼각형에서 어느 변을 사용했는지는 설명하지 못했다. 그림을 시계 방향으로 돌리거나 기준각을 바꾸면 같은 학생이 sin과 cos를 번갈아 적는 이유도 여기에 있다. 원당동중3수학과외에서는 sin의 값을 외우는 데서 멈추지 않고, 기준각과 변의 위치를 먼저 확인한 뒤 숫자와 그림이 달라진 문제에서도 같은 원리를 꺼내도록 연습한다.
30°라는 숫자보다 먼저 확인해야 할 것
한 프린트의 직각삼각형 ABC에서 ∠B=30°, AC=5, AB=5√3이었다. 학생은 AC가 짧은 변이라는 점만 보고 “sin 30°는 1/2이므로 다른 변도 절반”이라고 적었다. 그러나 이 문제에서 sin 30°는 단순히 외워 둔 수가 아니라, 기준각 B에 대한 대변과 빗변의 비이다.
∠B를 기준으로 보면 대변은 AC, 빗변은 직각의 맞은편에 있는 AB가 아니라, 직각이 A라면 BC이다. 따라서 문제의 직각 표시와 변의 길이 배치를 함께 읽어야 한다. 예를 들어 ∠A=90°, ∠B=30°, AC=5라면 BC가 빗변이므로
sin 30° = AC ÷ BC = 1/2
에서 BC=10을 얻는다. 학생이 처음 쓴 “다른 변도 절반”이라는 문장은 관계를 거꾸로 적용한 것이다. sin의 값이 주어졌을 때 대변을 빗변으로 나눈다는 방향을 식으로 고정해야 하며, 어떤 변이 대변인지는 기준각을 기준으로 다시 판단해야 한다.
기준각을 표시하지 않고 sin부터 쓰는 장면
다음 문제에서는 ∠C=60°, AB=8, BC=4인 직각삼각형이 제시되었다. 학생은 그림의 왼쪽에 있는 변 AB를 보고 곧바로 sin 60°=8/4라고 적었다. 계산값이 2가 되어 삼각비의 범위를 벗어났지만, 답안에서는 그 이유를 찾지 못했다.
sin, cos, tan의 비는 기준각을 기준으로 정한다. 먼저 ∠C에 동그라미를 치고, 직각을 마주 보는 변을 빗변으로 표시한다. 그다음 기준각 C와 마주 보는 변이 AB인지, 기준각에 붙어 있으면서 빗변이 아닌 변이 무엇인지 구분한다. 직각이 A라면 AB는 빗변이므로
sin C = 대변 ÷ 빗변 = AB ÷ BC
처럼 쓸 수 없다. BC가 빗변인지부터 그림의 직각 위치와 맞지 않는지 점검해야 한다. 학생에게는 변 이름을 외우게 하기보다 “기준각에서 마주 보는 변인가, 직각을 마주 보는 가장 긴 변인가”를 말로 확인하게 했다. sin의 값이 0과 1 사이여야 한다는 점도 계산 뒤에 확인하도록 했다.
같은 삼각형을 돌려 놓아도 관계는 변하지 않는다
원당동의 신원당200단지, 신원당500단지, 원당전원마을처럼 생활권 안에서도 학교나 학원까지 이동하는 시간이 다를 수 있다. 그래서 짧은 시간에 문제 수를 늘리기보다, 학생이 실제로 멈추는 첫 행동을 기록하는 방식이 효율적이다. 이동 후 바로 공부하는 학생은 그림을 대충 보고 식부터 쓰기 쉬웠고, 주거지에서 비교적 일정한 시간에 공부하는 학생은 계산은 정확하지만 기준각을 바꾼 문제에서 같은 비율을 그대로 옮기는 모습을 보였다. 두 경우 모두 필요한 것은 많은 문제보다 첫 표시를 바꾸는 일이었다.
학생은 처음에 기준각이 왼쪽 아래에 있는 문제에서 sin을 쓴 뒤, 같은 모양을 뒤집어 놓은 문제에도 이전 식을 그대로 복사했다. 수정할 때는 매 문항마다 다음 세 표시를 직접 했다.
- 기준각에 작은 원을 친다.
- 직각 표시와 마주 보는 변을 빗변으로 표시한다.
- 기준각과 마주 보는 변을 대변으로 표시한 뒤 sin=대변/빗변을 쓴다.
예를 들어 기준각이 45°이고 빗변이 12인 새 그림에서 대변을 x라 하면, 그림의 방향과 관계없이 x/12=sin45°=√2/2가 된다. 따라서 x=6√2이다. 학생은 처음에는 “45°니까 1/2”라고 썼지만, 기준각 표시와 비의 자리를 적은 뒤에는 √2/2를 선택했다. 숫자 암기가 아니라 도형 안에서 변의 역할을 결정한 결과다.
맞힌 답에도 빠지지 않은 검산
sin 30°=1/2를 이용해 빗변 14에서 대변 7을 구한 문제는 정답이었다. 그러나 풀이에는 “sin 30°=1/2”만 있고, 7이 대변인지 확인한 흔적이 없었다. 같은 길이 14가 대변으로 바뀐 새 문제라면 같은 계산을 할 수 없으므로, 정답만으로는 원리를 적용했다고 보기 어렵다.
검산 단계에서는 구한 길이를 원래 비에 다시 넣었다. 7/14=1/2이므로 비는 맞았다. 또한 직각삼각형에서 빗변이 대변보다 길어야 한다는 조건도 확인했다. 이 검산은 계산 실수뿐 아니라 빗변을 잘못 선택한 오류를 찾아낸다.
새 그림에서 도움 없이 첫 줄을 쓰는가
독립 확인 문제는 숫자와 표현을 바꾸었다. 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=30°, 직각은 R, PR=9로 제시하고 PQ를 구하게 했다. 학생은 먼저 ∠Q를 표시하고, R을 기준으로 직각을 확인한 뒤 PQ가 빗변, PR이 대변이라고 말했다. 이어 sin30°=PR/PQ를 세워 1/2=9/PQ, PQ=18을 얻었다.
이번에는 그림 없이 “경사면과 지면이 이루는 각이 60°이고, 경사면을 따라 잰 길이가 10m일 때 높이를 구하라”는 문장으로 바꾸었다. 학생은 경사면이 빗변이고 높이가 60°의 대변이라는 점을 먼저 설명한 다음, 높이/10=sin60°을 세워 높이=5√3m이라고 답했다. 문장의 순서와 그림의 배치가 달라졌지만, 기준각 표시와 대변·빗변 결정이라는 첫 행동은 그대로 유지됐다.
원당동중3수학과외에서 삼각비 적용 여부를 판단할 때는 sin 값을 얼마나 많이 외웠는지보다, 새 도형이나 문장형 조건에서 기준각을 찾고 변의 역할을 근거와 함께 정하는지를 본다. 답을 낸 뒤 비를 다시 대입하고, 빗변의 길이 조건까지 확인하는 과정이 이어질 때 sin은 암기한 숫자가 아니라 문제를 해석하는 도구가 된다.