원당동중2수학과외, 확률의 분모를 ‘전체 경우의 수’로 정하는 연습
중2 확률에서 자주 생기는 오류는 문제에 등장한 숫자를 모두 더하거나 곱한 뒤 그것을 분모로 쓰는 것이다. 학생은 계산 자체는 빠르게 하지만, 그 숫자가 무엇을 세고 있는지 확인하지 않은 채 분모를 정한다. 예를 들어 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있는 주머니에서 공 하나를 뽑을 때, 전체 경우의 수는 3+2=5개이지 색의 종류를 뜻하는 2가 아니다. 확률은 원하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이라는 구조를 먼저 확인해야 한다.
숫자를 세기 전에 ‘무엇을 한 가지 경우로 볼 것인가’ 묻기
이 단원에서 학생의 손은 대개 문제에 나온 숫자를 따라간다. “빨간 공 4개, 흰 공 3개”라는 문장을 읽으면 4와 3을 바로 더하지만, 그 합이 실제 가능한 결과를 모두 센 것인지 확인하지 않는다. 반대로 “주사위와 동전을 함께 던진다”는 문제에서는 주사위 6가지와 동전 2가지를 더해 8을 분모로 쓰기도 한다. 그러나 한 번의 실험 결과는 주사위 눈과 동전 앞뒤가 함께 정해지는 짝이므로 전체 경우의 수는 6×2=12이다.
따라서 분모를 정할 때는 숫자에 표시를 붙이는 방식이 효과적이다. 먼저 실험을 한 번 했을 때 결과 하나를 어떻게 기록할지 괄호로 적는다. 주사위와 동전이라면 (주사위 눈, 동전 면)으로 쓰고, 가능한 결과가 몇 개인지 수형도나 표로 확인한다. ‘문제에 나온 숫자 전체’가 아니라 ‘실제로 일어날 수 있는 결과 전체’가 분모라는 점을 식 옆에 짧게 남긴다.
원당동 생활 리듬에 맞춘 짧은 확인 단위
원당동은 신원당200단지, 신원당500단지, 원당전원마을 등이 확인되는 덕양구 생활권이다. 같은 생활권에서도 학교와 주거지 사이 거리, 귀가 시간, 학원 이동 여부에 따라 집중할 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 해당 지역명 주소의 중학교는 확인되지 않았으며, 가람중학교·고양제일중학교·고양중학교·능곡중학교·덕양중학교는 같은 덕양구의 통학권 참고 학교로만 볼 수 있다. 학교별 시험 경향을 단정하기보다, 학생이 실제로 틀린 확률 문항을 10분 단위로 다시 분류하는 방식이 적절하다.
이때 오답노트를 길게 작성하는 대신 문제마다 다음 세 칸만 채운다.
- 실험 결과 하나: 예를 들어 (주사위 눈, 동전 면)
- 전체 경우의 수: 표나 수형도로 센 결과
- 원하는 경우의 수: 조건에 맞는 결과만 표시
실제 오답 장면에서 확인할 것
예를 들어 주사위와 동전을 동시에 던져 주사위 눈이 짝수이고 동전이 앞면일 확률을 구한다고 하자. 학생이 “짝수는 3개, 앞면은 1개이므로 분모는 3+1=4, 확률은 1/4”라고 쓰면 계산 실수로 분류하면 안 된다. 실험 결과를 두 요소의 조합으로 보지 못한 경우의 수 설정 오류다.
전체 결과는 다음처럼 12개이다. 주사위 1부터 6까지 각각에 앞면과 뒷면이 대응한다. 조건을 만족하는 결과는 (2, 앞면), (4, 앞면), (6, 앞면)의 3개이므로 확률은 3/12=1/4이다. 학생의 답 1/4가 우연히 맞더라도 분모를 4로 정한 과정은 검증되지 않은 상태다. 답이 맞았는지보다 분모가 어떤 대상을 세었는지를 확인해야 한다.
분모를 고치는 손동작
첫 단계에서는 문제의 실험을 한 줄로 다시 적는다. “주사위 1회와 동전 1회”처럼 실험 횟수와 도구를 분리한다. 다음에는 수형도를 그려 주사위의 각 눈에서 앞면과 뒷면이 갈라지도록 한다. 가지 끝의 개수를 세어 분모를 확정한 뒤, 조건에 맞는 가지에만 동그라미를 친다.
곱셈법칙을 사용할 수 있는 상황인지도 확인한다. 첫 번째 선택이 6가지이고 각각의 경우에 두 번째 선택이 2가지라면 6×2로 셀 수 있다. 다만 같은 결과가 중복으로 세어지지 않는지 표의 항목과 대조한다. 반대로 ‘빨간 공 또는 파란 공’처럼 서로 겹치지 않는 종류를 세는 상황에서는 공의 개수를 더할 수 있지만, ‘주사위 눈과 동전 면’처럼 결과가 결합되는 상황에서는 더하지 않는다.
분모는 문제에 나온 숫자의 합이 아니라, 실험 한 번에서 가능한 결과를 빠짐없이 센 값이다.
다음 날 새 조건으로 독립 검증
같은 문제를 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 다음 날에는 숫자와 조건을 바꾼다. 주사위와 동전을 함께 던져 주사위 눈이 3의 배수이고 동전이 뒷면일 확률을 묻거나, 주사위 두 개를 던져 눈의 합이 7일 확률을 제시한다. 학생은 먼저 결과 하나의 기록 방식을 정하고, 전체 경우의 수를 표나 수형도로 만든 뒤, 원하는 경우를 따로 표시해야 한다.
주사위 두 개의 경우에는 순서를 구별하는지 확인해야 한다. 첫째 주사위와 둘째 주사위가 구별된다면 전체 경우의 수는 6×6=36이다. 합이 7인 경우는 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)의 6개이므로 확률은 6/36=1/6이다. 이때 학생이 6+6=12를 분모로 쓰거나 (1,6)과 (6,1)을 하나로 합치면, 분모 설정과 경우 누락을 각각 확인할 수 있다.
과외에서 보는 완료 기준
문제를 맞힌 뒤에도 전체 경우의 수를 말로 설명하지 못하면 완료로 처리하지 않는다. “왜 분모가 36인가”, “왜 이 결과는 원하는 경우에 포함되는가”를 식과 표에 연결해 설명해야 한다. 또한 조건이 바뀐 새 문항에서 표를 다시 구성하고, 시간 제한 안에 분모와 분자를 구분하는지 확인한다. 오답노트의 페이지 수보다 새 조건에서 같은 오류가 사라졌는지가 기준이다.
자주 묻는 질문
확률의 분모는 항상 숫자를 곱해서 구하나요?
아니다. 각 선택이 독립적으로 이어지고 모든 경우가 같은 가능성을 가질 때 곱셈법칙을 활용한다. 공을 한 개 뽑는 문제처럼 이미 전체 공의 개수가 주어진 경우에는 실제 공의 수를 센다.
답이 맞으면 분모 과정도 맞는 것인가요?
아니다. 약분 과정에서 우연히 같은 값이 나올 수 있다. 전체 결과와 원하는 결과를 각각 무엇으로 세었는지 설명할 수 있어야 한다.
분모를 정하기 어려울 때는 무엇부터 하나요?
실험 결과 하나를 괄호나 표의 한 칸으로 나타낸다. 그 칸을 빠짐없이 채운 개수가 전체 경우의 수가 된다.