삼송동고3수학과외

절댓값 정적분에서 부호 변화와 구간 방향 확인하기

삼송동에서 고양고등학교 통학을 마치고 삼송16단지와 삼송마을18단지 생활권으로 이동한 뒤, 짧게 확보한 자습시간에 절댓값 함수의 정적분을 풀이했다. 같은 덕양구의 화수고등학교·백양고등학교·신원고등학교·성사고등학교는 참고 학교이며 삼송동 소재 학교로 구분하지 않았다.

절댓값 안의 함수가 0이 되는 지점부터 찾기

학생이 먼저 계산한 문제는 다음과 같다.

∫_-1³|x²-2x|dx

계산 흔적에는 절댓값을 제거하지 않고 다음과 같이 처리한 오답이 남아 있었다.

∫_-1³|x²-2x|dx = ∫_-1³(x²-2x)dx = 4/3

이 식은 틀린 식이다. 절댓값 안의 함수가 구간 전체에서 양수라는 조건을 확인하지 않았기 때문이다. 실제로

x²-2x=x(x-2)

이므로 영점은 x=0, 2이다. 부호는 [-1, 0]에서 양수, [0, 2]에서 음수, [2, 3]에서 다시 양수로 바뀐다.

틀린 줄을 표시하고 식을 다시 세우는 과정

• 틀린 줄: 절댓값을 그대로 x²-2x로 바꾼 부분에 표시한다.
• 조건 확인: x(x-2)의 두 영점 0, 2를 찾고 각 구간의 부호를 대입해 확인한다.
• 식 수정: 음수 구간에서는 함수 앞에 마이너스를 붙인다.

따라서 올바른 식은

∫_-1⁰(x²-2x)dx + ∫₀²-(x²-2x)dx + ∫₂³(x²-2x)dx

이다. 원시함수를 F(x)=x³/3-x²로 두면

첫째 구간은 F(0)-F(-1)=4/3, 둘째 구간은 -{F(2)-F(0)}=4/3, 셋째 구간은 F(3)-F(2)=4/3이다.

그러므로 정답은 4이다. 넓이를 구하는 적분이므로 결과가 음수가 될 수 없다는 점도 확인했다. 반대로 상한과 하한을 바꾸면 같은 적분값에 -1을 곱해야 하므로, 구간 방향 역시 처음부터 고정해야 한다.

계수를 바꾼 문제로 혼자 검증하기

같은 풀이를 반복하지 않고 다음 문제를 새로 제시했다.

∫_-2⁴|x²-3x|dx

x(x-3)의 영점은 0과 3이며, [−2,0]과 [3,4]에서는 양수, [0,3]에서는 음수이다.

F(x)=x³/3-3x²/2라 하면

∫_-2⁰(x²-3x)dx + ∫₀³-(x²-3x)dx + ∫₃⁴(x²-3x)dx

= 26/3 + 9/2 + 11/6 = 15이다.

학생은 각 구간의 임의의 값을 대입해 부호를 다시 확인하고, 세 넓이를 더한 값이 양수인지 역산했다. 이후에는 계산보다 먼저 영점, 부호표, 상·하한 방향을 적는 순서로 풀이를 시작했다.