삼송동고1수학과외: ‘또는’과 ‘그리고’를 합·곱의 법칙으로 읽기
삼송16단지나 삼송마을18단지에서 학교와 방과후 이동을 마친 뒤 짧은 자습시간에 경우의 수 문제를 풀 때, 계산보다 먼저 해야 할 일은 문장의 연결어를 수학적 관계로 바꾸는 것이다. 고양고등학교처럼 삼송동 안에 있는 학교의 프린트 문제를 풀거나, 덕양구의 화수고·백양고·신원고·성사고 등 참고 학교의 유형을 접할 때도 이 판단은 같다.
숫자를 바로 곱하면 문장의 관계가 사라진다
다음 조건을 살펴보자.
음료 4종과 빵 3종 중 하나를 고른다. 단, 음료이면서 빵으로도 분류되는 메뉴 1종이 있다. 또 상의 3벌과 하의 2벌 중 각각 하나씩 골라 옷차림을 만든다.
첫 번째 선택은 ‘음료 또는 빵’이다. 음료의 수와 빵의 수를 더하면 겹치는 메뉴를 두 번 세게 되므로
4+3-1=6
가지이다. 반면 옷차림은 상의와 하의를 모두 골라야 하므로 ‘상의 그리고 하의’에 해당한다. 상의 하나마다 하의 2개를 연결할 수 있어
3×2=6
가지가 된다. 두 상황의 답이 우연히 모두 6이지만, 첫 번째는 합의 법칙에 겹침을 조정한 것이고 두 번째는 곱의 법칙으로 두 선택을 결합한 결과다.
답안에서 빠진 한 줄이 오답을 만든다
관찰된 풀이에서는 문제에 나온 4, 3, 3, 2를 칸으로 나누지 않고 한 번에 곱해 4×3×3×2라고 적었다. 이 식은 음료와 빵을 동시에 하나씩 고르고, 상의와 하의도 각각 고른다는 뜻이 된다. 그러나 앞부분은 ‘음료 또는 빵’이므로 두 종류를 동시에 선택하는 상황이 아니다.
또 ‘음료 또는 빵’의 겹치는 메뉴를 구분하지 않고 4+3=7이라고 쓰는 것도 잘못이다. 그 메뉴는 음료 목록과 빵 목록에 모두 포함되어 있으므로 한 번만 세야 한다.
문장을 선택 구조로 번역하는 연습
풀이 여백에 먼저 다음처럼 표시한다.
- 또는: 선택지가 갈라지는 경우에는 더한다.
- 그리고: 여러 단계를 모두 수행하면 곱한다.
- 두 ‘또는’ 선택지가 겹치면 공통 부분을 한 번 뺀다.
따라서 위 문제는
(음료 또는 빵) 그리고 (상의 그리고 하의)
로 읽을 수 있다. 앞부분은 4+3-1=6, 뒷부분은 3×2=6이므로 전체 조합은 두 묶음을 함께 선택하는 경우로 보아
6×6=36
가지이다. 계산 전에 괄호를 나누면 보이는 숫자를 무조건 곱하는 실수를 막을 수 있다.
겹치지 않는 ‘또는’과 겹치는 ‘또는’ 구별하기
예를 들어 방과후 귀가 방법이 버스 2가지 또는 도보 1가지라면 한 번에 두 방법을 선택하지 않으므로 2+1=3가지다. 두 집합이 겹치지 않아 뺄 항이 없다.
반대로 1부터 8까지의 자연수 중 2의 배수 또는 3의 배수를 고르면 2의 배수는 4개, 3의 배수는 2개다. 하지만 6은 두 목록에 모두 들어 있으므로
4+2-1=5
개이다. ‘또는’이라는 단어만 보고 항상 더하는 것이 아니라, 같은 대상을 양쪽에서 세었는지 확인해야 한다.
그림이 바뀌어도 같은 성질을 찾는 확인
수행평가 피드백에서 “선택 단계를 나누고 공통으로 세어진 대상을 조정하라”는 지적을 받았다면, 같은 메뉴 문제를 반복하는 대신 다음처럼 자료 형태를 바꿔 확인한다.
숫자 카드 1, 2, 3, 4, 5 중 2의 배수 또는 홀수를 고르는 경우의 수를 구하고, 선택한 카드로 색연필 2종 중 하나를 함께 정한다.
2의 배수는 2개, 홀수는 3개이며 서로 겹치지 않으므로 카드 선택은 2+3=5가지다. 카드마다 색연필 2종을 연결하므로 전체는 5×2=10가지다. 답안에 ‘카드 선택은 또는이므로 합, 색연필 선택은 그리고이므로 곱’이라는 근거가 남아 있는지 본다. 그림이나 숫자가 달라도 선택 집합의 겹침과 단계 연결을 찾아냈다면 이 원리를 새 문제에 적용한 것이다.