초지동 고2수학과외: 수학적 귀납법에서 첫 단계와 k+1 연결하기
“n=1일 때 성립하므로 증명되었다”고 적힌 풀이를 검산하면서 문제가 드러났다. 명제가 n≥2에서 성립한다고 주어졌는데도, 실제 시작값인 n=2를 확인하지 않고 n=1 계산만 한 것이다. 초지동에서 학교 프린트와 지필평가 범위를 함께 정리할 때도 이런 시작 조건을 먼저 표시해야 풀이가 흔들리지 않는다.
n=2를 확인한 뒤 k에서 k+1로 넘어가기
다음 명제를 증명해 보자.
P(n): 1+4+7+⋯+(3n-2)=
n(3n-1)/2
단, n≥2
첫 단계는 n=2이다.
좌변 = 1+4=5, 우변 = 2(6-1)/2=5
따라서 P(2)가 성립한다. 여기서 멈추면 첫 단계만 확인한 것이므로 귀납법의 증명이 끝나지 않는다. 이제 k≥2에서 P(k)가 성립한다고 가정한다.
1+4+⋯+(3k-2)=k(3k-1)/2
다음 항은 3(k+1)-2=3k+1이므로 양변에 이 항을 더한다.
1+4+⋯+(3k-2)+(3k+1) = k(3k-1)/2+3k+1
= {k(3k-1)+2(3k+1)}/2 = (3k2+5k+2)/2 = (k+1)(3k+2)/2
그런데
(k+1){3(k+1)-1}/2=(k+1)(3k+2)/2
이므로 P(k+1)이 성립한다. P(2)와 P(k)→P(k+1)이 모두 확인되어, 주어진 명제는 모든 n≥2에서 성립한다.
첫 줄을 조건·계산·검산으로 나누는 이유
기존 풀이에서는 n=1을 대입한 뒤 바로 결론을 적었다. 이 식 자체는 1=1로 맞지만, 명제가 n≥2부터 시작하므로 증명의 출발점을 확인한 것이 아니다. 오류가 생긴 위치를 다음처럼 표시하면 수정할 부분이 분명해진다.
- 조건: 명제의 시작 범위는 n≥2인가?
- 계산: 실제 첫 값 n=2를 좌변과 우변에 대입했는가?
- 검산: k+1일 때 마지막 항과 목표식을 비교했는가?
이 문제에서는 조건 칸에 n≥2를 적고, 계산 칸에는 1+4=5와 2(6-1)/2=5를 남긴다. 검산 칸에는
k(3k-1)/2+(3k+1) =(k+1)(3k+2)/2
를 적어 다음 항이 정확히 목표식으로 바뀌는지 확인한다. 첫 단계 계산만 반복하는 것이 아니라, 귀납 가정에서 다음 단계로 이어지는 식을 반드시 남기는 방식이다.
계수와 부호가 바뀐 식에서 다시 확인하기
표현이 달라진 다음 명제를 제시했다.
Q(n): 3+7+11+⋯+(4n-1)=n(2n+1),
단, n≥2
이번에는 시작값을 혼자 선택해야 한다.
Q(2): 3+7=10,
2(2·2+1)=10
귀납 가정으로
3+7+⋯+(4k-1)=k(2k+1)
를 두고, 새 항 4(k+1)-1=4k+3을 더하면
k(2k+1)+4k+3 =2k2+5k+3 =(k+1)(2k+3)
이다. 이는
(k+1){2(k+1)+1}
과 같으므로 Q(k+1)이 성립한다. 계수가 3에서 4로 바뀌어도 “첫 유효한 n 확인 → k번째 식 가정 → 새 항 추가 → 목표식 정리”의 판단을 유지해야 한다.
초지동의 학교별 시험 범위와 평일 귀가 시간을 고려해 풀이를 점검할 때는 답만 맞혔는지보다 세 칸 중 어디에서 끊겼는지를 표시한다. 마지막에는 시간 제한 없이 Q(2)의 조건, Q(k+1)의 계산, 목표식과의 검산을 각각 가리지 않고 직접 작성하게 한다. 새로운 계수의 명제에서도 n=1로 돌아가지 않고 n=2를 출발점으로 선택하며 k+1 연결까지 남겼다면, 첫 단계 확인이 실제 귀납법 풀이로 이어진 것이다.