초지동고1수학과외, 명제의 역·이·대우를 조건과 결론으로 구분하기
초지고등학교 프린트에서 명제 변환 문제가 나오면 문장을 읽자마자 앞뒤를 뒤집는 방식으로는 안정적인 답을 쓰기 어렵다. 초지동고1수학과외 학습에서는 먼저 조건을 p, 결론을 q로 나눈 뒤 네 문장의 위치와 부정을 따로 기록하게 한다.
“6의 배수이면 3의 배수”에서 달라지는 네 문장
명제의 원래 문장을 다음과 같이 두자.
p: 정수 n은 6의 배수이다.
q: 정수 n은 3의 배수이다.
원명제는 p이면 q, 즉 “정수 n이 6의 배수이면 3의 배수이다”이다. 이때 변환은 다음처럼 정리된다.
- 역: q이면 p → “n이 3의 배수이면 6의 배수이다.”
- 이: p가 아니면 q가 아니다 → “n이 6의 배수가 아니면 3의 배수가 아니다.”
- 대우: q가 아니면 p가 아니다 → “n이 3의 배수가 아니면 6의 배수가 아니다.”
역과 이는 조건과 결론의 위치를 바꾸지만, 대우는 위치를 바꾼 뒤 두 문장을 모두 부정한다. 따라서 역과 대우를 같은 방식으로 만들면 안 된다.
문장을 바로 뒤집은 흔적
초지동에서 평일 귀가 후 학교 수학 프린트를 정리하던 학생은 p와 q를 따로 적지 않고 “3의 배수이면 6의 배수”라고만 썼다. 이는 역에는 해당하지만, 문제에서 요구한 대우의 답은 아니다. 또 “6의 배수가 아니면 3의 배수가 아니다”라고 적었다면 이는 이인데, 예를 들어 n=3은 6의 배수가 아니면서 3의 배수이므로 이 명제는 거짓이다.
학생의 현재 상태는 용어를 모르는 것이 아니라, 조건과 결론을 문장 속에서 분리하고 부정하는 절차가 아직 고정되지 않은 상태에 가깝다. 정답을 다시 베껴 쓰는 것만으로는 역·이·대우를 정확히 구분했는지 확인하기 어렵다.
표를 먼저 만들고 부정의 범위를 표시하기
다음과 같이 두 칸을 만든다.
| 조건 p | 결론 q |
|---|---|
| n은 6의 배수이다 | n은 3의 배수이다 |
| ¬p: n은 6의 배수가 아니다 | ¬q: n은 3의 배수가 아니다 |
그다음 원명제는 p→q, 역은 q→p, 이는 ¬p→¬q, 대우는 ¬q→¬p로 옮긴다. 이 과정을 거치면 “역은 위치만 교환”, “이는 두 문장을 부정”, “대우는 위치 교환 후 부정”이라는 차이가 식과 문장에 함께 남는다.
특히 ‘n이 3의 배수가 아니다’는 대우의 조건이고, 그 결과는 ‘n이 6의 배수가 아니다’이다. 대우는 원명제와 논리적으로 동치이므로 원명제가 참인 이 예에서 대우도 참이다.
괄호가 있는 표현에서도 조건과 결론을 빠뜨리지 않기
새 문제에서 다음 명제를 제시했다고 하자.
“실수 x에 대하여 (x>1이고 x<4)이면 x²>1이다.”
조건을 p: (x>1이고 x<4), 결론을 q: x²>1로 묶어야 한다. 역은 q→p이므로 “x²>1이면 (x>1이고 x<4)이다”이고, 대우는 ¬q→¬p이다. 여기서 ¬q는 x²≤1이며, ¬p는 “x≤1 또는 x≥4”이다.
괄호를 지우고 일부 조건만 적으면 원래 조건 전체를 부정하지 못한다. 서술형에서는 기호만 쓰지 말고 “조건 p는 …, 결론 q는 …”라고 문장으로도 남겨 조건과 결론의 범위를 확인한다.
스스로 끝낼 수 있는지 확인하는 기록
학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 긴 오답 정리보다 한 문제의 변환 과정을 정확히 기록하는 편이 효율적이다. 초지고등학교 프린트를 푼 뒤에는 오답노트에 정답 전체를 옮기기보다 “p·q 표 작성 후, 위치 교환과 부정을 분리함”이라는 바뀐 행동 한 가지만 남긴다.
이후 학생이 표를 만들고 역·이·대우를 각각 적은 뒤, 조건과 결론을 빠뜨리지 않았는지 스스로 확인하고 복습 종료 시점을 정하도록 한다. 같은 문장을 반복하는 대신 괄호가 포함된 명제에서 p와 q의 범위를 표시하고 세 변환을 완성하면, 단순 암기가 아닌 구분 능력을 확인할 수 있다.