원곡동고2수학과외: 귀납가정은 ‘가정한다’가 아니라 식으로 적용하는 과정
원곡고등학교의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 원곡벽산아파트 생활권에서의 평일 귀가 시간을 함께 고려하면 긴 증명 문제를 한 번에 끝내기보다, 풀이의 근거를 짧게 기록하는 연습이 필요하다. 수학적 귀납법에서는 특히 귀납가정을 정확한 식으로 남기는지가 다음 단계의 출발점이 된다.
k일 때 성립한다고만 쓰면 다음 단계가 시작되지 않는다
다음 명제를 증명한다고 하자.
1+3+5+⋯+(2n-1)=n2 (n≥1)
첫째항에 해당하는 n=1에서는
1=12
이므로 성립한다. 이어서 귀납가정은 반드시 다음처럼 적어야 한다.
어떤 자연수 k≥1에 대하여
1+3+5+⋯+(2k-1)=k2이라고 가정하자.
그 뒤 k+1일 때의 식을 귀납가정에 연결한다.
1+3+⋯+(2k-1)+{2(k+1)-1}
=k2+(2k+1)
=(k+1)2
여기서 귀납가정은 모든 자연수에 대해 이미 증명된 공식이 아니다. k≥1인 임의의 자연수 하나를 정해 그 경우의 식을 다음 단계에서 사용하는 것이다. 따라서 “k일 때 성립한다고 가정한다”만 적으면 실제로 무엇을 대입했는지 확인할 수 없다.
마지막 항을 잘못 이어 붙인 풀이
풀이표에는 다음과 같이 적혀 있었다.
“k일 때 성립한다고 가정하면, k+1일 때는 k2+(2k-1)이다.”
이 식은 귀납가정의 공식도 없고, k+1번째 항도 잘못 적은 것이다. k번째 마지막 항은 2k-1이지만, 그 다음 항은
2(k+1)-1=2k+1
이다. 따라서 필요한 연결은 k2+(2k+1)이며, 2k-1을 다시 더하면 안 된다. 이 장면에서는 계산 능력보다 귀납가정의 적용 대상을 식으로 표시하는 절차가 끊긴 것이 문제다.
귀납가정을 한 줄로 고정한 뒤 다음 항을 표시하기
풀이할 때 다음 두 줄을 먼저 작성하도록 한다.
(가정) 1+3+⋯+(2k-1)=k2, k≥1
(다음 항) 2(k+1)-1=2k+1
그 후에만 두 식을 연결한다.
1+3+⋯+(2k-1)+(2k+1)
=k2+2k+1
=(k+1)2
이렇게 하면 귀납가정의 성립 범위 k≥1과 새로 추가되는 항의 번호가 답안에 함께 남는다. 귀납법의 결론은 첫 단계가 성립하고, 임의의 k≥1에 대해 k에서 k+1로 넘어가는 과정이 성립하므로 모든 자연수 n≥1에서 명제가 참이라는 것이다.
짝수의 합으로 바꾸었을 때도 같은 표시가 남는가
새 문제로 다음 명제를 확인한다.
2+4+6+⋯+2n=n(n+1) (n≥1)
풀이를 시작할 때
n=1: 2=1×2
귀납가정: 2+4+⋯+2k=k(k+1), k≥1
를 먼저 적어야 한다. 그러면 k+1일 때
2+4+⋯+2k+2(k+1)
=k(k+1)+2(k+1)
=(k+1)(k+2)
가 된다. 이 문제에서도 ‘가정한다’라는 문장만 남기지 않고, k에 대한 식과 k+1에서 추가되는 항을 각각 표시했는지 확인한다. 숫자와 일반항이 달라져도 귀납가정을 실제 식으로 적용하는 행동이 유지되어야 증명이 완성된다.