원곡동고1수학과외, 원명제와 대우의 참·거짓이 같은 이유
명제 \(p \Rightarrow q\)와 대우 \(\lnot q \Rightarrow \lnot p\)는 결론의 모양만 바꾼 문장이 아니다. 두 문장이 항상 같은 참·거짓을 갖는 까닭은 \(p\)가 참이고 \(q\)가 거짓인 경우에만 원명제가 거짓이 되며, 대우 역시 \(\lnot q\)가 참이고 \(\lnot p\)가 거짓인 바로 그 경우에 거짓이 되기 때문이다.
답은 했지만, 풀이에서는 빠진 한 줄
원곡고등학교 프린트의 명제 문제를 풀 때 이 학생은 질문을 받으면 “대우는 결론을 부정하고 조건을 부정한 뒤 순서를 바꾼 문장”이라고 답했다. 그러나 혼자 풀이할 때는 원명제와 대우의 참·거짓이 같은 이유를 적지 않고 곧바로 다음 계산으로 넘어갔다.
원명제: \(n\)이 4의 배수이면 \(n\)은 짝수이다.
학생의 답안: 대우는 \(n\)이 짝수가 아니면 4의 배수가 아니다. 따라서 참.
대우의 문장 자체는 맞지만, ‘따라서 참’이라고만 적으면 원명제와 대우의 참·거짓이 연결되는 근거가 드러나지 않는다. 현재 상태는 용어를 말할 수는 있으나, 명제의 거짓이 발생하는 조건을 대우의 거짓 조건과 대응시키는 적용 단계가 비어 있는 경우다.
거짓이 되는 경우를 한 칸으로 맞추기
원명제 \(p \Rightarrow q\)는 \(p\)가 참인데 \(q\)가 거짓일 때만 거짓이다. 대우 \(\lnot q \Rightarrow \lnot p\)를 보자. 이 명제가 거짓이 되려면 \(\lnot q\)가 참이고 \(\lnot p\)가 거짓이어야 한다. 이는 곧 \(q\)가 거짓이고 \(p\)가 참인 경우다.
따라서 두 명제의 거짓 조건은 모두 \(p\) 참, \(q\) 거짓으로 일치한다. 거짓인 경우가 같으므로 참인 경우도 같고, 이것이 원명제와 대우의 참·거짓이 항상 같은 이유다. 반면 역 \(q \Rightarrow p\)이나 이 \( \lnot p \Rightarrow \lnot q\)는 이러한 대응이 보장되지 않는다.
소인수분해를 이용한 확인 방식
풀이 전에는 다음 한 줄을 먼저 적게 한다.
“원명제와 대우는 거짓이 되는 조건이 같으므로 참·거짓이 같다.”
풀이 후에는 대우로 바꾼 문장의 조건을 실제 수로 점검한다. 예를 들어 \(n\)이 12의 배수이면 \(n\)은 2의 배수라는 명제에서 \(12=2^2\cdot3\)이다. 12의 배수는 \(n=12k\)로 쓸 수 있으므로 \(n=2(6k)\), 항상 2의 배수다.
대우는 “\(n\)이 2의 배수가 아니면 \(n\)은 12의 배수가 아니다”이다. \(n\)을 소인수분해했을 때 2가 빠져 있으면 \(2^2\cdot3\)을 인수로 가질 수 없으므로 12의 배수가 될 수 없다. 학생이 \(2^2\cdot3\)을 역으로 곱해 12를 만들고, 대우의 조건에서 빠진 소인수를 직접 찾는지 확인한다.
표현이 달라진 문장으로 다시 묶어 보기
같은 문장을 반복하지 않고 다음 문제를 제시한다.
어떤 상자에 들어 있는 공의 수 \(m\)이 6의 배수이면, 공을 3명에게 똑같이 나누어 줄 수 있다. 상자에 공이 6의 배수가 아닌 경우에는 3명에게 똑같이 나눌 수 없다고 단정할 수 있는가?
이 문장은 \(m\)이 6의 배수이면 \(m\)이 3의 배수라는 명제와 관련된다. 조건이 하나 추가되어 “공을 2개씩 포장한 묶음으로만 세었다”면 \(m\)은 2의 배수라는 정보도 생긴다. 학생은 문장 속 표현을 그대로 따라가지 않고, 원명제를 \(p\Rightarrow q\)로 정리한 뒤 대우가 \(\lnot q\Rightarrow\lnot p\)인지 확인해야 한다. \(m=10\)처럼 3의 배수가 아닌 수는 6의 배수도 아니므로 대우의 대응을 확인할 수 있다.
학교 일정 속 짧은 점검
원곡동에서 원곡고등학교의 학교 프린트, 교과서 복습, 수행평가 준비가 겹치는 주간에는 긴 문제 풀이보다 명제 한 문제의 앞뒤 확인을 고정하는 편이 효율적이다. 평일 귀가 후 첫 문제와 마지막 문제에서 각각 근거 한 줄을 적게 하고, 단원 범위가 다른 참고 학교의 시험 자료를 사용할 때에는 경안고등학교·안산강서고등학교·신길고등학교·선부고등학교를 원곡동 소재 학교로 혼동하지 않도록 자료의 출처와 범위를 구분한다.
마지막 확인에서 학생이 소인수분해 결과를 다시 곱해 빠진 인수나 지수를 찾고, 새 문장제의 추가 조건을 \(p\)와 \(q\)로 다시 묶는다면 표현이 달라져도 원명제와 대우의 관계를 스스로 적용한 것으로 볼 수 있다.