선부동중1수학과외, 소인수분해 결과를 곱셈으로 되돌려 검산하는 습관
“84=2×3×14”라고 적은 뒤 학생은 답을 맞혔다고 생각했지만, 이 식은 아직 소인수분해가 끝난 결과가 아니다. 14가 다시 2×7로 나뉘기 때문이다. 중1 소인수분해에서는 나눗셈을 진행하는 것만큼, 마지막 결과를 곱셈으로 되돌려 처음 수가 맞는지 확인하는 과정이 중요하다. 선부동중1수학과외에서는 이 검산을 풀이의 마지막 장식이 아니라 결과를 결정하는 단계로 훈련한다.
숙제에서 먼저 나타나는 풀이 습관
시험 전 학생은 이미 풀어 본 예제와 숫자가 익숙한 문제를 반복한다. 반면 학교 숙제를 시작하다가 교과서 예제와 숫자가 달라지면 문제를 표시만 해 두고 답지를 빠르게 확인한다. 풀이가 길어질수록 소인수의 개수를 세기보다 마지막 숫자만 보고 맞았다고 판단하며, 답안에는 나눗셈 과정이나 검산식을 생략한다.
예를 들어 180을 소인수분해하면서 다음과 같이 적을 수 있다.
180=2×90=2×2×45=2×2×3×15=2×2×3×3×5
이 과정은 정확하다. 하지만 180=2²×3²×5로만 적고 끝내면 학생이 실제로 2와 3의 지수를 잘못 세었는지 확인하기 어렵다. 따라서 마지막에 2×2×3×3×5를 계산해 180이 되는지 확인해야 한다. 결과가 2²×3×5라면 곱은 90이므로, 원래 수와 달라진 지점이 즉시 드러난다.
초등 계산 공백은 필요한 만큼만 확인한다
소인수분해를 하다가 막힌다고 해서 초등 수학 전체를 다시 시작할 필요는 없다. 현재 문제를 멈추게 한 계산만 좁혀 확인한다. 예를 들어 126을 2로 나눈 뒤 63을 얻었는데 63을 더 이상 어떻게 나눌지 모른다면, 3의 배수 판별과 63÷3, 21÷3 정도만 점검한다. 확인한 뒤 바로 원래 문제로 돌아와 다음 과정을 이어 간다.
126의 풀이를 완성하면 126=2×3×3×7이고, 곱셈 검산은 2×3×3×7=126이다. 학생이 이 식을 직접 계산해 원래 수와 같음을 확인하면, 필요한 선수 개념을 복구하면서도 현행 중1 학습을 멈추지 않을 수 있다.
한 문제를 푸는 순서를 바꾸는 연습
소인수분해 문제마다 다음 네 칸을 사용한다.
- 처음 수를 적고 가장 먼저 나눌 소수를 표시한다.
- 나눗셈 결과를 한 줄씩 작성한다.
- 더 나눌 수 없는 소수만 모아 곱셈 형태로 정리한다.
- 소인수들을 다시 곱해 처음 수와 같은지 확인한다.
예를 들어 252는 2로 나누어 126, 다시 2로 나누어 63이 된다. 이후 63=3×21=3×3×7이므로 252=2×2×3×3×7이다. 검산은 2×2×3×3×7=252이다. 학생이 중간식을 생략하지 않으면 252를 2×2×3×7로 잘못 적는 오류도 찾기 쉽다. 곱이 126에 그치기 때문이다.
답지를 보는 시점도 바꾼다. 한 번 읽고 바로 정답을 베끼는 대신, 문제 옆에 ‘나눌 소수 찾기’, ‘끝까지 소수인지 확인’, ‘곱셈 검산’ 체크칸을 만든다. 막힌 초등 계산은 두 문제만 확인하고, 같은 유형의 현재 중1 문제를 다시 도움 없이 시작한다. 목표는 풀이량을 늘리는 것이 아니라 숫자가 바뀌어도 검산까지 완료하는 것이다.
일주일 뒤에 남길 문항을 정한다
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 월요일에는 180을 정확히 풀었지만 화요일 198에서 198=2×99=2×3×33이라고 적은 뒤 33을 더 나누지 않고 멈출 수 있다. 이 문항은 단순히 틀린 문제로 표시하지 않고 ‘합성수 33을 소수까지 분해하지 않음’으로 기록한다. 다음 날에는 숫자를 바꾼 198 대신 270을 제시해 270=2×3³×5인지 확인하게 한다.
이때는 답을 외웠는지가 아니라 2×3×3×3×5=270으로 되돌려 검산하는지를 본다. 이어 2와 3의 순서를 바꾸거나, 지수 형태와 곱셈 형태를 번갈아 제시한다. 같은 180을 다시 맞히는 데서 끝내지 않고 숫자와 표현을 바꾸어도 소인수분해와 검산을 독립적으로 수행해야 한다.
일주일 뒤에도 33이나 45 같은 수에서 분해를 중단한다면 해당 문항만 장기 복습에 남긴다. 반대로 새로운 수에서 소수 여부를 확인하고 곱셈 검산까지 스스로 했다면 관련 초등 계산 복습은 종료한다. 시험 직전에는 새 교재의 어려운 문제보다 아직 검산하지 않은 학교 프린트와 미완료 문항을 우선 선택하는지 확인한다.
선부동 생활 리듬에 맞춘 확인 간격
선부동 안에서도 선부주공9단지, 선부주공14단지 등 주거지와 학교·학원 이동 거리에 따라 평일에 확보되는 시간이 다를 수 있다. 그래서 모든 학생에게 같은 분량을 정하기보다, 이동이 긴 날에는 소인수분해 한 문제의 중간식과 검산만 점검하고 시간이 더 있는 날에는 숫자를 바꾼 독립 문항을 추가한다. 선부동 내 석수중학교, 선부중학교, 선일중학교, 원일중학교를 비롯해 같은 단원구의 관산중학교 자료를 구분하더라도, 학교별 시험 경향을 추측하기보다 실제 받은 프린트와 학생의 미완료 문항을 기준으로 확인한다.